Esercizio Geometria e Algebra

[Mikbro]

$ \subseteq $Salve ragazzi,ho qualche dubbio su questo esercizio! Vi lascio la traccia e poi vi dico..

Determinare la dimensione e una base di ciascuno dei seguenti sottospazi vettoriali ... e la dimensione di quelli tra i seguenti sottoinsiemi che risultano essere sottospazi ("si conviene che il vuoto sia una base dello spazio vettoriale nullo {0}"):
$T={(1,1,1),(0,0,0),(2,2,2)}$ $\subseteq$ $R^3$
$U=L{(1,1,0,-1),(0,2,-3,1),(-2,0,-3,3),(0,0,0,0)}$ $\subseteq$ $R^4$
$Z={(x1,x2) $\in$ R^2|x1^2+x2^2=0 }$ $\subseteq$ $R^2$


Allora il primo dubbio è circa l'affermazione "si conviene che il vuoto sia una base dello spazio vettoriale nullo ${0}$" : non capisco come devo considerarlo.
Poi il secondo dubbio riguarda lo svolgimento,in particolare dei primi due sottoinsiemi. Da quanto dice il testo,devo verificare prima che si tratti di sottospazi e quindi dovrei verificare la definizione : elemento nullo e chiusura rispetto somma e prodotto. Ma per i primi due ,come devo fare?
vi ringrazio

[cooper1]

provo a rispondere...

"Mikbro":si conviene che il vuoto sia una base dello spazio vettoriale nullo {0}

credo intenda che se un sottospazio è quello banale ${0}$ allora ha dimensione nulla e dunque la base è il vuoto.

"Mikbro":devo verificare prima che si tratti di sottospazi e quindi dovrei verificare la definizione : elemento nullo e chiusura rispetto somma e prodotto. Ma per i primi due ,come devo fare?

1. non è un sottospazio. se per esempio sommi il primo ed il terzo vettore ciò che risulta non appartiene al sottoinsieme che quindi non è chiuso rispetto alla somma.
2. ti da il generatore quindi mi verrebbe da dire che è già un sottospazio, proprio per definizione di span lineare.