esercizio geometria differenziale
definizione : Siano $X$ e $Y$ varietà differenziabili e sia $f:X \rightarrow Y$ una mappa continua . Diremo che $f: X\rightarrow Y $ è $C^k$ intorno a $p \in X$ se esiste una carta $(U,\varphi) $ intorno a $p$ e una carta $(V,\psi)$ intorno a $f(p)$ tali che la mappa $ \psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(f^{-1}(V)\cap U)\rightarrow \psi(V)$ è $C^k$ intorno a $\varphi (p)$. Se $f$ è $C^k$ in ogni suo punto diremo che $f$ è $C^k$. Una mappa $C^\infty$ è detta $liscia.$
esercizio (essere liscia è una proprietà locale) Sia $f: X \rightarrow Y $ una mappa tra varietà differenziabili tale che per ogni $p \in X$ esiste un intorno $U$ tale che $f|_U : U \rightarrow Y$ è $liscia$ . Allora $f$ è $liscia$.
provo a inizare l'esercizio ma non ho idea di come procedere rigorosamente. Bisogna far vedere che $f$ è $liscia$ tra le varietà differenziabili $X$ e $Y$, pertanto seguendo la definizione devo mostrare che preso un generico $p \in X$ riesco a trovare un aperto $U$ contenente $p$ e un aperto $V$ contenente $f(p)$ tali che $$ \psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(f^{-1}(V)\cap U)\rightarrow \psi(V)$$ è $C^\infty$ intorno a $\varphi (p)$.
Noi non abbiamo alcuna ipotesi su $f$ mentre nella definizione è richiesta la continuità. devo pertanto far vedere che $f$ è continua da $X$ in $Y$ ?
sicuramente dobbiamo sfruttare le ipotesi quindi sappiamo che preso un puto $p$ a caso in $X$ esiste un aperto $U_p$ di $X$ contenente $p$ tale che
$$f|_{U_p} : U_p \rightarrow Y$$
è $liscia$.
Bisogna stare attenti poichè adesso $U_p$ è una sottovarietà aperta di $X$ e quindi stiamo lavorando con la topologia indotta. Pertanto adesso io so che preso a caso un punto $q$ nella varietà $U_p$ esiste un aperto $\tilde{U}$ tale che $q \in \tilde U \subset U_p$ tale che $$ \tilde{\psi} \circ f|_{U_p} \circ \tilde{\varphi}^{-1}: \tilde{\varphi}(f|_{U_p}^{-1}(\tilde{V})\cap \tilde{U})\rightarrow \tilde{\psi}(\tilde{V})$$ è $C^\infty$ intorno a $\tilde{\varphi} (p)$.
a questo punto le uniche cose che posso sfruttare sono la funzione inclusione $i: U_p \rightarrow X$ ed il fatto che l'aperto $\tilde{U}$ nella topologia indotta si può scrivere come $\tilde{U}= X \cap \hat {U}$ dove $\hat{U}$ è un aperto di $X$.
come posso andare avanti?
esercizio (essere liscia è una proprietà locale) Sia $f: X \rightarrow Y $ una mappa tra varietà differenziabili tale che per ogni $p \in X$ esiste un intorno $U$ tale che $f|_U : U \rightarrow Y$ è $liscia$ . Allora $f$ è $liscia$.
provo a inizare l'esercizio ma non ho idea di come procedere rigorosamente. Bisogna far vedere che $f$ è $liscia$ tra le varietà differenziabili $X$ e $Y$, pertanto seguendo la definizione devo mostrare che preso un generico $p \in X$ riesco a trovare un aperto $U$ contenente $p$ e un aperto $V$ contenente $f(p)$ tali che $$ \psi \circ f \circ \varphi^{-1}: \varphi(f^{-1}(V)\cap U)\rightarrow \psi(V)$$ è $C^\infty$ intorno a $\varphi (p)$.
Noi non abbiamo alcuna ipotesi su $f$ mentre nella definizione è richiesta la continuità. devo pertanto far vedere che $f$ è continua da $X$ in $Y$ ?
sicuramente dobbiamo sfruttare le ipotesi quindi sappiamo che preso un puto $p$ a caso in $X$ esiste un aperto $U_p$ di $X$ contenente $p$ tale che
$$f|_{U_p} : U_p \rightarrow Y$$
è $liscia$.
Bisogna stare attenti poichè adesso $U_p$ è una sottovarietà aperta di $X$ e quindi stiamo lavorando con la topologia indotta. Pertanto adesso io so che preso a caso un punto $q$ nella varietà $U_p$ esiste un aperto $\tilde{U}$ tale che $q \in \tilde U \subset U_p$ tale che $$ \tilde{\psi} \circ f|_{U_p} \circ \tilde{\varphi}^{-1}: \tilde{\varphi}(f|_{U_p}^{-1}(\tilde{V})\cap \tilde{U})\rightarrow \tilde{\psi}(\tilde{V})$$ è $C^\infty$ intorno a $\tilde{\varphi} (p)$.
a questo punto le uniche cose che posso sfruttare sono la funzione inclusione $i: U_p \rightarrow X$ ed il fatto che l'aperto $\tilde{U}$ nella topologia indotta si può scrivere come $\tilde{U}= X \cap \hat {U}$ dove $\hat{U}$ è un aperto di $X$.
come posso andare avanti?
Risposte
forse ho capito come ragionare. Innanzitutto l'immagine inversa della funzione $ f|_{U_p}$ valutata sull'aperto $\tilde V$ cioè $f|_{U_p}^{-1}(\tilde V)$ per ipotesi è aperta in $U$ nella topologia relativa ma siccome $U$ è aperto in $X$ questo significa che la preimmagine è aperta anche in $X$ e quindi $f$ è continuna da $X$ in $Y$.
dopodichè osserviamo che $f|_{U_p} = f \circ i$ per ogni $x \in U_p$. Adesso consideriamo l'aperto $\tilde {U}$ nella topologia relativa tale che $p \in \tilde{U} \subset U_p$ e che per ipotesi soddisfa $ \tilde{\psi}\circ f|_{U_p} \circ \tilde{\varphi}^{-1} : \tilde{\varphi}(\tilde{U} \cap f^{-1}|_{U_p}(\tilde{V})) \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \tilde{\psi}(\tilde{V}) \subset \mathbb{R}^m$ è $C^\infty : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$
siccome $\tilde{\psi}\circ f|_{U_p}\circ \tilde {\varphi}^{-1} = \tilde{\psi}\circ f \circ i \circ \tilde {\varphi}^{-1} = \tilde{\psi}\circ f \circ (i \circ \tilde {\varphi}^{-1})= \tilde{\psi}\circ f \circ \varphi^{-1}$ credo che dovremmo aver mostrato quanto richiesto.
dopodichè osserviamo che $f|_{U_p} = f \circ i$ per ogni $x \in U_p$. Adesso consideriamo l'aperto $\tilde {U}$ nella topologia relativa tale che $p \in \tilde{U} \subset U_p$ e che per ipotesi soddisfa $ \tilde{\psi}\circ f|_{U_p} \circ \tilde{\varphi}^{-1} : \tilde{\varphi}(\tilde{U} \cap f^{-1}|_{U_p}(\tilde{V})) \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \tilde{\psi}(\tilde{V}) \subset \mathbb{R}^m$ è $C^\infty : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$
siccome $\tilde{\psi}\circ f|_{U_p}\circ \tilde {\varphi}^{-1} = \tilde{\psi}\circ f \circ i \circ \tilde {\varphi}^{-1} = \tilde{\psi}\circ f \circ (i \circ \tilde {\varphi}^{-1})= \tilde{\psi}\circ f \circ \varphi^{-1}$ credo che dovremmo aver mostrato quanto richiesto.
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