Esercizio geometria analitica piani.

[lo92muse]

Salve a tutti mi trovo davanti a questo dubbio.
Mi viene chiesto di considerare il piano
$\pi: x-2y+2z=0$. Devo trovare il piano passante per l'origine e per $P=(1, 0, 1)$ e perpendicolare a $\pi$.
Ho impostato in questo modo.
Per essere perpendicolari i piani devono avere il prodotto scalare delle giaciture uguale a 0, quindi avendo la giacitura del piano dato posso scrivere $1a-2b+2c=0$ dove a,b e c sono i coefficienti della giacitura del piano da trovare.
Ora questa equazione ammette più di una soluzione e sono un poì in dubbio su come imporre la condizione di passaggio per il punto.
Per esempio il prodotto scalare sarebbe nullo presi $a=2$, $b=1$ e $c=0$. Otterrei così un piano del tipo
$\pi: 2(x-x_{0})+1(y-y_{0})+0=0$. Imponendo il passaggio per il punto il piano sarebbe $\pi: 2x+y-2=0$.
Effettivamente sembra passare per il punto e perpendicolare a quello di partenza. Può essere corretta come soluzione?
Vi ringrazio .....

[ciampax]

Se il piano passa per i punti $P$ e $O$ (origine) allora contiene il vettore $v=PO$. Ora, come si comporta la giaciture con questo vettore? Da lì hai una seconda condizione. Ricorda, inoltre, che il piano deve passare per $O(0,0,0)$ e pertanto deve avere equazione $ax+by+cz=0$. E che $P$ deve soddisfare questa equazione.

[Sk_Anonymous]

In maniera equivalente si può fare così.
La retta OP ha equazioni:
\(\displaystyle \begin{cases}x=z\\y=0\end {cases} \)
Il piano richiesto appartiene al fascio di asse r che ha equazione:
(1) \(\displaystyle \lambda(x-z)+\mu y=0 \)
Tra i piani di questo fascio ricerchiamo quello perpendicolare al piano dato. Abbiamo la condizione _
\(\displaystyle \lambda-2\mu-2\lambda=0 \) da cui si trae la relazione \(\displaystyle \lambda=-2\mu \)
Sostituendo nella (1) si ha :
\(\displaystyle 2x-y-2z=0 \)
che è l'equazione del richiesto piano.