Esercizio geometria analitica
Determinare il piano passante per la retta
$ { ( x+2y=0 ),( 3x-y-z-2=0 ):} $ ed inoltre parallelo alla retta $ { ( 3x-y-z-2=0 ),( x+5=0 ):} $ Qualcuno mi potrebbe spiegare il procedimento, ho pensato di fare il fascio dei piani formato dai due piani presenti nella prima retta ma dopo non so continuare. Cosa posso fare??
$ { ( x+2y=0 ),( 3x-y-z-2=0 ):} $ ed inoltre parallelo alla retta $ { ( 3x-y-z-2=0 ),( x+5=0 ):} $ Qualcuno mi potrebbe spiegare il procedimento, ho pensato di fare il fascio dei piani formato dai due piani presenti nella prima retta ma dopo non so continuare. Cosa posso fare??
Risposte
Penso che tu possa fare così ma non sono sicuro chiedo conferme....
1)Ti ricavi la parametrica della prima e della seconda retta.
2)Fai il prodotto vettoriale tra i coefficienti in t della prima e della seconda retta che rappresentano i vettori paralleli alle stesse. Così facendo ottieni un terzo vettore che è perpendicolare ad entrambe. Quel vettore è la normale al piano cercato
3)Una volta che hai il vettore normale al piano ad esempio (3i+j+k) scrivi l'equazione del piano che sarà 3x+y+z+d=0 (se per esempio il vettore fosse quello che ho scritto io). Per trovare d sostituisci al posto di x y e z un punto appartenente alla retta dalla quale il piano deve passare.
1)Ti ricavi la parametrica della prima e della seconda retta.
2)Fai il prodotto vettoriale tra i coefficienti in t della prima e della seconda retta che rappresentano i vettori paralleli alle stesse. Così facendo ottieni un terzo vettore che è perpendicolare ad entrambe. Quel vettore è la normale al piano cercato
3)Una volta che hai il vettore normale al piano ad esempio (3i+j+k) scrivi l'equazione del piano che sarà 3x+y+z+d=0 (se per esempio il vettore fosse quello che ho scritto io). Per trovare d sostituisci al posto di x y e z un punto appartenente alla retta dalla quale il piano deve passare.
ti torna?
Adesso provo, anche se mi sembra un procedimento un pò artificioso, penso ce ne sia uno più semplice cmq ora vedo e grazie
Nessuno a qualche altra idea?? Magari si deve ragionare con i parametri direttori?? Qualcuno mi aiuti
Trovati i parametri direttori delle rette $ r: { ( x+2y=0 ),( 3x-y-z-2=0 ):} $ $ s: { ( 3x-y-z-2=0 ),( x+5=0 ):} $
$Vr(-2,1-7)$
$vs(0,-1.+1)$
Adesso basta che imposti il sistema con le varie condizioni, metti a sistema l'equazione generica del piano passante per $vr$ con la condizione di perpendicolarità RETTA-PIANO $al+bm+cn=0$
$ { ( ax+by+cz=0 ),( al+bm+cn=0 ):} $
Sostituisci ad $ a b c$ Vr e a $ m n l $ Vs.
Quindi risolvi il sistema:
$ { ( -2a+b-7c=0 ),( -b+c=0 ):} $
Che come soluzione ha:
$3x+y+z=0$
$Vr(-2,1-7)$
$vs(0,-1.+1)$
Adesso basta che imposti il sistema con le varie condizioni, metti a sistema l'equazione generica del piano passante per $vr$ con la condizione di perpendicolarità RETTA-PIANO $al+bm+cn=0$
$ { ( ax+by+cz=0 ),( al+bm+cn=0 ):} $
Sostituisci ad $ a b c$ Vr e a $ m n l $ Vs.
Quindi risolvi il sistema:
$ { ( -2a+b-7c=0 ),( -b+c=0 ):} $
Che come soluzione ha:
$3x+y+z=0$
"Anubarek":
Determinare il piano passante per la retta
$ { ( x+2y=0 ),( 3x-y-z-2=0 ):} $ ed inoltre parallelo alla retta $ { ( 3x-y-z-2=0 ),( x+5=0 ):} $
Scriviti il fascio di piani contenenti la retta $ { ( x+2y=0 ),( 3x-y-z-2=0 ):} $:
$lambda_1 (x+2y) + lambda_2 ( 3x-y-z-2) = 0$
ordina rispetto a x,y,z e poi imponi l'ortogonalità tra il vettore normale del piano generico del fascio e il
vettore direttore della retta $ { ( 3x-y-z-2=0 ),( x+5=0 ):} $.
Come si trova il vettore normale del piano??? scusa la mia ignoranza
Se il piano ha equazione $a x + b y + c z + d = 0$ il vettore normale è $(a,b,c)$.
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