Esercizio geometria affine
Salve a tutti,
mi sto esercitando facendo gli esercizi del primo appello d'esame, e ce n'è uno che non mi è chiaro:
"Si consideri in $RR^4$ il sottospazio vettoriale $U$ di equazioni $x_1+x_2=0$ $x_2=0$ , nelle coordinate cartesiane $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ di $RR^4$. Sia $U^\bot$ il sottospazio di $RR^4$ formato dai vettori di $RR^4$ ortogonali (nel prodotto scalare canonico) a tutti i vettori di $U$. Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere (eventualmente anche più risposte):
1) $dimU^\bot = 2$
2) $(1,0,0,0) in U^\bot$
3) $U^\bot$ ha equazioni cartesiane $x_3+2x_4=0$, $x_3-x_4=0$
4 )$U^\bot$ ha equazioni cartesiane $x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $x_2+x_3+x_4=0$ "
Questi sono stati i miei ragionamenti prima di vedere le risposte(che dopo vi dirò) :
1) mi sembra giusta perchè anche la dimensione di $U$ è 2(dato che i vettori che lo compongono hanno solo due parametri liberi, cioè $x_3$ e $x_4$, e i primi due sono nulli), ma non saprei dare una spiegazione rigorosa del perchè $U^\bot$ avrebbe la stessa dimensione;
3)mi sembra giusta, perchè il prodotto scalare tra un vettore qualsiasi di $U$ e uno qualsiasi di $U^\bot$ viene 0 se $x_3=x_4=0$ e questa condizione è soddisfatta da queste equazioni, ma anche qui non c'è un ragionamento molto rigoroso;
4)la escludo visto che ho scelto la 3, mi sembra poi che lo spazio rappresentato qui sia di dimensione 3, ma non ne sono comunque sicura;
2)credo che un vettore generico di $U^\bot$ abbia coordinate $(x_1,x_2,0,0)$ e quindi se fosse così la risposta sarebbe giusta; ma non ne sono sicura, potrebbe anche non esserlo.
Le risposte giuste sono in effetti 1) 2) 3) e quindi intuitivamente ci sarei anche vicina, ma spero che possiate aiutarmi a trovare delle giustificazioni rigorose per la scelta di queste risposte!
Grazie in anticipo
Valentina
mi sto esercitando facendo gli esercizi del primo appello d'esame, e ce n'è uno che non mi è chiaro:
"Si consideri in $RR^4$ il sottospazio vettoriale $U$ di equazioni $x_1+x_2=0$ $x_2=0$ , nelle coordinate cartesiane $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ di $RR^4$. Sia $U^\bot$ il sottospazio di $RR^4$ formato dai vettori di $RR^4$ ortogonali (nel prodotto scalare canonico) a tutti i vettori di $U$. Stabilire quali tra le seguenti affermazioni sono vere (eventualmente anche più risposte):
1) $dimU^\bot = 2$
2) $(1,0,0,0) in U^\bot$
3) $U^\bot$ ha equazioni cartesiane $x_3+2x_4=0$, $x_3-x_4=0$
4 )$U^\bot$ ha equazioni cartesiane $x_1+x_2+x_3+x_4=0$, $x_2+x_3+x_4=0$ "
Questi sono stati i miei ragionamenti prima di vedere le risposte(che dopo vi dirò) :
1) mi sembra giusta perchè anche la dimensione di $U$ è 2(dato che i vettori che lo compongono hanno solo due parametri liberi, cioè $x_3$ e $x_4$, e i primi due sono nulli), ma non saprei dare una spiegazione rigorosa del perchè $U^\bot$ avrebbe la stessa dimensione;
3)mi sembra giusta, perchè il prodotto scalare tra un vettore qualsiasi di $U$ e uno qualsiasi di $U^\bot$ viene 0 se $x_3=x_4=0$ e questa condizione è soddisfatta da queste equazioni, ma anche qui non c'è un ragionamento molto rigoroso;
4)la escludo visto che ho scelto la 3, mi sembra poi che lo spazio rappresentato qui sia di dimensione 3, ma non ne sono comunque sicura;
2)credo che un vettore generico di $U^\bot$ abbia coordinate $(x_1,x_2,0,0)$ e quindi se fosse così la risposta sarebbe giusta; ma non ne sono sicura, potrebbe anche non esserlo.
Le risposte giuste sono in effetti 1) 2) 3) e quindi intuitivamente ci sarei anche vicina, ma spero che possiate aiutarmi a trovare delle giustificazioni rigorose per la scelta di queste risposte!
Grazie in anticipo
Valentina
Risposte
1) E' vero, ma non perché [tex]U[/tex] e [tex]U^{\perp}[/tex] hanno stessa dimensione. La relazione che sussiste è la seguente: [tex]dim V = dim U + dim U^{\perp}[/tex], dove [tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale munito di prodotto scalare non degenere (com'è il caso del prodotto euclideo, che è anche qualcosa in più: è definito) e [tex]U[/tex] è un suo sottospazio.
2) E' corretto. Visto che sai quant'è la dimensione di [tex]U^{\perp}[/tex], ti basta trovare due vettori linearmente indipendenti di [tex]U^{\perp}[/tex] per averne una base. Questi ad esempio sono [tex](1,0,0,0), (0,1,0,0)[/tex], da cui vedi che il vettore generico ha la forma che hai intuito. Per verificare che quei vettori (e nel caso particolare il primo, che è quello richiesto) appartengono al complemento ortogonale, basta farne il prodotto scalare con l'elemento generico di [tex]U[/tex]. Ciononostante, avere una base ti è utile per i punti successivi.
3,4) Ora che hai una base (e di conseguenza una forma parametrica) puoi dedurne le equazioni cartesiane. A occhio la 3 mi pare giusta come dicevi, la 4 invece no. Stai attenta però: che la 3 sia giusta non esclude che la 4 non lo sia, infatti i due sistemi potrebbero essere equivalenti. Per escluderlo potresti verificare che le equazioni della 4 non dipendono da quelle della 3 (o viceversa). In questo caso però basta vedere che sostituendo ottieni [tex]x_1=0[/tex], che non va bene per [tex]U^{\perp}[/tex] (perché?).
2) E' corretto. Visto che sai quant'è la dimensione di [tex]U^{\perp}[/tex], ti basta trovare due vettori linearmente indipendenti di [tex]U^{\perp}[/tex] per averne una base. Questi ad esempio sono [tex](1,0,0,0), (0,1,0,0)[/tex], da cui vedi che il vettore generico ha la forma che hai intuito. Per verificare che quei vettori (e nel caso particolare il primo, che è quello richiesto) appartengono al complemento ortogonale, basta farne il prodotto scalare con l'elemento generico di [tex]U[/tex]. Ciononostante, avere una base ti è utile per i punti successivi.
3,4) Ora che hai una base (e di conseguenza una forma parametrica) puoi dedurne le equazioni cartesiane. A occhio la 3 mi pare giusta come dicevi, la 4 invece no. Stai attenta però: che la 3 sia giusta non esclude che la 4 non lo sia, infatti i due sistemi potrebbero essere equivalenti. Per escluderlo potresti verificare che le equazioni della 4 non dipendono da quelle della 3 (o viceversa). In questo caso però basta vedere che sostituendo ottieni [tex]x_1=0[/tex], che non va bene per [tex]U^{\perp}[/tex] (perché?).
"Antimius":
1 In questo caso però basta vedere che sostituendo ottieni [tex]x_1=0[/tex], che non va bene per [tex]U^{\perp}[/tex] (perché?).
Perchè a quel punto gli altri tre sarebbero parametri liberi, e quindi la dimensione non è 3 ma è 2?
Poi, non ho capito perchè per la 1) si deve parlare di un altro spazio $V$ e come faccio a sapere che è munito di un prodotto scalare non degenere (quando è degenere il determinante della matrice associata è nullo, giusto?)
Semplicemente perché la prima componente non può essere sempre nulla in [tex]U^{\perp}[/tex] per quanto abbiamo detto prima.
No, non è necessario parlare di un altro spazio vettoriale
ti stavo dando la relazione nel caso generale. Che è un munito di un prodotto scalare vuol dire che il prodotto scalare è specificato. Per verificare che è non degenere, basta studiarne il rango (ad esempio attraverso la matrice associata). Ma nel caso del prodotto euclideo è noto che esso è (definito e di conseguenza) non degenere.
No, non è necessario parlare di un altro spazio vettoriale
ti stavo dando la relazione nel caso generale. Che è un munito di un prodotto scalare vuol dire che il prodotto scalare è specificato. Per verificare che è non degenere, basta studiarne il rango (ad esempio attraverso la matrice associata). Ma nel caso del prodotto euclideo è noto che esso è (definito e di conseguenza) non degenere.
Ma che qui è euclideo si capisce dal fatto che siamo in $RR^4$? E poi perchè la prima componente non può essere nulla, se abbiamo detto che un vettore di una base di $U^\bot$ è $(0,1,0,0)$? qui la prima componente del vettore è nulla ma esso appartiene a $U^\bot$!
Con prodotto scalare euclideo intendo quello che, credo, tu chiami canonico.
La prima componente non può essere sempre nulla. Questo non vuol dire che non esistono vettori che hanno prima componente nulla, ma che (le coordinate de) i vettori di quel sottospazio vettoriale non sono tutti soluzione dell'equazione [tex]x_1=0[/tex]. E questo vuol dire che non può ammetterla come equazione cartesiana.
La prima componente non può essere sempre nulla. Questo non vuol dire che non esistono vettori che hanno prima componente nulla, ma che (le coordinate de) i vettori di quel sottospazio vettoriale non sono tutti soluzione dell'equazione [tex]x_1=0[/tex]. E questo vuol dire che non può ammetterla come equazione cartesiana.
Ambè ok. Cioè, ci possono essere vettori che hanno la prima componente nulla, ma non è così per tutti, è questo che intendi?
Sì 
Ok, allora ho capito. Posso chiederti anche di spiegarmi la motivazione che ha dato il professore?
Dopo l'esercizio, dice (su internet ha messo soluzioni e spiegazioni) :
"Poichè $U=kerA$, con $A=((1,1,0,0),(0,1,0,0))$, si ha che $U^\bot = ImA^t = Span {(1,1,0,0),(0,1,0,0)}$ da cui seguono facilmente le risposte."
Che c'entra il nucleo di A, e che cos'è A? è la matrice associata a cosa? oppure è la matrice che ha per righe i vettori di una base di $U^\bot$ diversa da quella che abbiamo preso noi prima?
Dopo l'esercizio, dice (su internet ha messo soluzioni e spiegazioni) :
"Poichè $U=kerA$, con $A=((1,1,0,0),(0,1,0,0))$, si ha che $U^\bot = ImA^t = Span {(1,1,0,0),(0,1,0,0)}$ da cui seguono facilmente le risposte."
Che c'entra il nucleo di A, e che cos'è A? è la matrice associata a cosa? oppure è la matrice che ha per righe i vettori di una base di $U^\bot$ diversa da quella che abbiamo preso noi prima?
[tex]A[/tex] è la matrice del sistema di equazioni cartesiane per [tex]U[/tex] (*), da cui si ha che [tex]U=ker A[/tex]. Dopodiché ha sfruttato il fatto che [tex]Im(A^t)=(ker(A))^{\perp}[/tex].
(*)Più precisamente la matrice è una 4x4 ottenuta aggiungendo due righe nulle ad [tex]A[/tex], ma è ovvio che essa e [tex]A[/tex] hanno stesso nucleo.
(*)Più precisamente la matrice è una 4x4 ottenuta aggiungendo due righe nulle ad [tex]A[/tex], ma è ovvio che essa e [tex]A[/tex] hanno stesso nucleo.
"Antimius":
Dopodiché ha sfruttato il fatto che [tex]Im(A^t)=(ker(A))^{\perp}[/tex].
Vale sempre? E' una regola?
Sì, vale anche [tex]ker(A^t)=Im(A)^{\perp}[/tex].
Non so se hai studiato spazio duale, annichilatore e trasposta di un'applicazione. Se sì, tali relazioni seguono direttamente dalle proprietà dell'annichilatore, considerando che esso coincide (nel senso che è isomorfo canonicamente) con il complemento ortogonale.
Non so se hai studiato spazio duale, annichilatore e trasposta di un'applicazione. Se sì, tali relazioni seguono direttamente dalle proprietà dell'annichilatore, considerando che esso coincide (nel senso che è isomorfo canonicamente) con il complemento ortogonale.
No non l'abbiamo studiato 
comunque ho capito, grazie mille!
comunque ho capito, grazie mille!
Di nulla 
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