Esercizio geometria
Siano dati nel piano il punto [tex]A(1,h^2,1),B(h,1,1)[/tex] e la retta [tex]r) 2x-y=z+2=0[/tex]
1)Trovare i valori di h per cui le rette r ed AB risultino parallele.
2)Gli eventuali valori di h tali che la distanza del punto A dalla retta r sia uguale a 2.
Ho cercato l' equazione di AB che mi risulterebbe:
[tex]\left\{\begin{matrix}
(z-1)(h-1)=0\\
(h-1)(y-h^2)=(x-1)(1-h^2)\end{matrix}\right.[/tex]
Un vettore associato dovrebbe essere [tex]W(1-h^2,h-1,h-1)[/tex]
Ne trovo uno pure per r, lo chiamo V.
E verifico che siano paralleli V e W imponendo che la differenza delle componenti sia uguale a 0. Trovo che per h=1 sono parallele.
Per quanto riguarda il secondo punto considero sempre il vettore di r che chiamo V, e trovo l' equazione della retta t' passante per A e ortogonale a V.
L' equazione mi viene:
[tex]2x-y+z-3+h^2=0[/tex]
La metto a sistema con r e trovo una situazione di questo tipo:
[tex]\left\{\begin{matrix}
h^2=5\\
x=\frac{y}{2}\\
z=-2\end{matrix}\right.[/tex]
Avrei che il punto Q di intersezione tra le rette dovrebbe essere: [tex]Q(0,0-2)[/tex]
Ora calcolo la distanza tra Q ed A imponendo che sia uguale a 2, ottenendo:
[tex]\sqrt{h^4+10}=2[/tex]
Non mi sembra ci sia soluzione quindi non dovrebbe esistere h tale che la distanza tra r ed A sia uguale a 2.
Come va secondo voi?
1)Trovare i valori di h per cui le rette r ed AB risultino parallele.
2)Gli eventuali valori di h tali che la distanza del punto A dalla retta r sia uguale a 2.
Ho cercato l' equazione di AB che mi risulterebbe:
[tex]\left\{\begin{matrix}
(z-1)(h-1)=0\\
(h-1)(y-h^2)=(x-1)(1-h^2)\end{matrix}\right.[/tex]
Un vettore associato dovrebbe essere [tex]W(1-h^2,h-1,h-1)[/tex]
Ne trovo uno pure per r, lo chiamo V.
E verifico che siano paralleli V e W imponendo che la differenza delle componenti sia uguale a 0. Trovo che per h=1 sono parallele.
Per quanto riguarda il secondo punto considero sempre il vettore di r che chiamo V, e trovo l' equazione della retta t' passante per A e ortogonale a V.
L' equazione mi viene:
[tex]2x-y+z-3+h^2=0[/tex]
La metto a sistema con r e trovo una situazione di questo tipo:
[tex]\left\{\begin{matrix}
h^2=5\\
x=\frac{y}{2}\\
z=-2\end{matrix}\right.[/tex]
Avrei che il punto Q di intersezione tra le rette dovrebbe essere: [tex]Q(0,0-2)[/tex]
Ora calcolo la distanza tra Q ed A imponendo che sia uguale a 2, ottenendo:
[tex]\sqrt{h^4+10}=2[/tex]
Non mi sembra ci sia soluzione quindi non dovrebbe esistere h tale che la distanza tra r ed A sia uguale a 2.
Come va secondo voi?
Risposte
innanzitutto come prima cosa devi porre la condizione $h!=1$ perche altrimenti ti ritrovi che $A-=B$, cioe hai un solo punto! e per un solo punto passano $oo$ rette.
detto questo, per ricavare i parametri direttori della retta AB ti basta fare la differenza delle componenti:
$AB : [1-h,h^2-1,1-1] => [1-h,h^2-1,0]$
i parametri direttori della retta $r$ sono:
$r : [1,2,0]$
le 2 rette sono parallele sse i parametri direttori sono proporzionali,cioe:
$\{(1-h=k*1),(h^2-1=k*2),(0=k*0):} , k in RR$
dato che l'ultima equazione è verificata $AAk in RR$, allora non rimane che risolvere l'equazione $(h^2-1)/2=1-h$ che ha come unica soluzione accettabile $h=-3$
per quanto riguarda il secondo quesito ho fatto 2 conti con un altro metodo e anche in questo caso non esiste $h in RR$ che risolva il quesito.
per prima cosa mi scelgo un punto qualunque $B in r$, ad esempio $B(0,0,-2)$
per calcolare la distanza punto-retta usero la formula:
$d(A,r)=(||AB^^r||)/(||r||)$
dove con $AB$ indico il vettore dei parametri direttori della retta AB e con $r$ i parametri direttori della retta $r$
$AB=[1,h^2,3]$
$r[1,2,0] => ||r||=sqrt(1+4+0)=sqrt(5)$
quindi $AB^^r=[6,-3,h^2-2] => ||AB^^r||=sqrt(6^2+3^2+(h^2-2))=sqrt(h^4-4h^2+49)$
quindi sostituendo nella formula si ottiene:
$d(A,r)=(||AB^^r||)/(||r||)=sqrt(h^4-4h^2+49)/sqrt(5)$
ora impostando l'equazione:
$d(A,r)=2 => sqrt(h^4-4h^2+49)/sqrt(5)=2$
si trova che non ha soluzioni reali.
detto questo, per ricavare i parametri direttori della retta AB ti basta fare la differenza delle componenti:
$AB : [1-h,h^2-1,1-1] => [1-h,h^2-1,0]$
i parametri direttori della retta $r$ sono:
$r : [1,2,0]$
le 2 rette sono parallele sse i parametri direttori sono proporzionali,cioe:
$\{(1-h=k*1),(h^2-1=k*2),(0=k*0):} , k in RR$
dato che l'ultima equazione è verificata $AAk in RR$, allora non rimane che risolvere l'equazione $(h^2-1)/2=1-h$ che ha come unica soluzione accettabile $h=-3$
per quanto riguarda il secondo quesito ho fatto 2 conti con un altro metodo e anche in questo caso non esiste $h in RR$ che risolva il quesito.
per prima cosa mi scelgo un punto qualunque $B in r$, ad esempio $B(0,0,-2)$
per calcolare la distanza punto-retta usero la formula:
$d(A,r)=(||AB^^r||)/(||r||)$
dove con $AB$ indico il vettore dei parametri direttori della retta AB e con $r$ i parametri direttori della retta $r$
$AB=[1,h^2,3]$
$r[1,2,0] => ||r||=sqrt(1+4+0)=sqrt(5)$
quindi $AB^^r=[6,-3,h^2-2] => ||AB^^r||=sqrt(6^2+3^2+(h^2-2))=sqrt(h^4-4h^2+49)$
quindi sostituendo nella formula si ottiene:
$d(A,r)=(||AB^^r||)/(||r||)=sqrt(h^4-4h^2+49)/sqrt(5)$
ora impostando l'equazione:
$d(A,r)=2 => sqrt(h^4-4h^2+49)/sqrt(5)=2$
si trova che non ha soluzioni reali.
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