Esercizio Geometria
Sia $T: V->V$ endomorfismo tale che $T^2 = Id_V$. Dimostrare che $T$ è diagonalizzabile.
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Io ho provato cosi:
$T^2 = Id_V => M_ \mathfrakB*M_ \mathfrakB = I$ dove $M_ \mathfrakB$ è la matrice associata a T rispetto ad una base $ \mathfrakB$. Ma le uniche matrici che sono inverse di se stesse sono le matrici che hanno sulla diagonale $+-1$. Dunque $T$ è diagonalizzabile.
Un altro modo che mi è venuto in mente, ma non so come approfondirlo è questo: sia $ \mathfrakB={v_1,..., v_n}$ base di $V$, se come da ipotesi $T^2(v_i)= v_i$ allora necessariamente $T(v_i) = +-v_i$, $\forall1<=i<=n$. Dunque, costruendo la matrice associata si vede subito che è diagonale.
Mi serve un mano
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Io ho provato cosi:
$T^2 = Id_V => M_ \mathfrakB*M_ \mathfrakB = I$ dove $M_ \mathfrakB$ è la matrice associata a T rispetto ad una base $ \mathfrakB$. Ma le uniche matrici che sono inverse di se stesse sono le matrici che hanno sulla diagonale $+-1$. Dunque $T$ è diagonalizzabile.
Un altro modo che mi è venuto in mente, ma non so come approfondirlo è questo: sia $ \mathfrakB={v_1,..., v_n}$ base di $V$, se come da ipotesi $T^2(v_i)= v_i$ allora necessariamente $T(v_i) = +-v_i$, $\forall1<=i<=n$. Dunque, costruendo la matrice associata si vede subito che è diagonale.
Mi serve un mano
Risposte
"_Matteo_C":
Ma le uniche matrici che sono inverse di se stesse sono le matrici che hanno sulla diagonale $+-1$. Dunque $T$ è diagonalizzabile.
Are you sure?
[tex]\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)[/tex]
"_Matteo_C":
Mi serve un mano
Non sapendo fino a che punto conosci l'argomento, è difficile aiutarti. Ad esempio io conosco un'elegante soluzione di questo esercizio che fa uso delle proprietà del polinomio minimo combinate con il teorema di Cayley-Hamilton. Conosci questi argomenti?
Grazie della risposta. Allora gli argomenti che ho fatto purtroppo non coprono ciò che hai menzionato.. Le ultime cose, sono i determinanti, gli autovettori e gli autovalori, autospazi, spazi vettoriali complessi.. Se puoi fornirmi una dimostrazione saresti molto gentile! Anche se magari c'è qualcosa che non conosco, me lo vedo da solo e se non capisco chiedo! Grazie mille!!
Senza gli argomenti che ho riportato, ti sembrerà fantascienza... comunque: siccome [tex]T^2 = \text{id}[/tex], segue che [tex]T[/tex] soddisfa il polinomio [tex]X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)[/tex]. Ora, il polinomio minimo di [tex]T[/tex] divide qualsiasi altro polinomio che annulla [tex]T[/tex] e quindi [tex]p_T(X) \mid (X-1)(X+1)[/tex] da cui segue che il polinomio minimo è formato, in ogni caso, solo da fattori lineari. Si sa che un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo è formato solo da termini lineari, il che ci permette di concludere.
Adesso non ho una soluzione più elementare, comunque ci penserò su... La mia sensazione (che può essere clamorosamente sbagliata) è che senza usare quegli strumenti la dimostrazione si faccia inevitabilmente lunga e complessa.
Adesso non ho una soluzione più elementare, comunque ci penserò su... La mia sensazione (che può essere clamorosamente sbagliata) è che senza usare quegli strumenti la dimostrazione si faccia inevitabilmente lunga e complessa.
"maurer":[EDIT] Segue ragionamento sbagliato. Andrebbe bene se fosse $T^2=T$, non $T^2=I$.
Adesso non ho una soluzione più elementare, comunque ci penserò su... La mia sensazione (che può essere clamorosamente sbagliata) è che senza usare quegli strumenti la dimostrazione si faccia inevitabilmente lunga e complessa.
Ma anche no, maurer. Infatti, essendo [tex]T^2=I[/tex], detti [tex]U, W[/tex] il nucleo e l'immagine di [tex]T[/tex] rispettivamente risulta che [tex]V=U \oplus W[/tex].
E' evidente che [tex]U, W[/tex] sono autospazi di [tex]T[/tex]: [tex]U[/tex] è relativo all'autovalore [tex]0[/tex], [tex]W[/tex] all'autovalore [tex]1[/tex]. Quindi [tex]T[/tex] è diagonalizzabile.
@dissonance: scusami, ma se consideriamo la matrice
[tex]A = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
è chiaro che [tex]A^2 = I[/tex], ma il suo nucleo è [tex]\langle \mathbf{0} \rangle[/tex] e la sua immagine è [tex]\mathbb{R}^2[/tex], che di certo non è un autospazio della matrice (altrimenti la matrice sarebbe scalare).
Peraltro il ragionamento che ho postato poco più sopra mostra chiaramente che gli unici autovalori ammissibili sono 1 e -1.
[tex]A = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)[/tex]
è chiaro che [tex]A^2 = I[/tex], ma il suo nucleo è [tex]\langle \mathbf{0} \rangle[/tex] e la sua immagine è [tex]\mathbb{R}^2[/tex], che di certo non è un autospazio della matrice (altrimenti la matrice sarebbe scalare).
Peraltro il ragionamento che ho postato poco più sopra mostra chiaramente che gli unici autovalori ammissibili sono 1 e -1.
Uuh è vero stavo pensando a $T^2=T$!!! 
Adesso correggo. Scusate ragazzi.
Adesso correggo. Scusate ragazzi.
Vediamo se riesco a rimediare al casino combinato. L'idea di prima era usare una caratterizzazione geometrica: erronenamente avevo preso $T^2=T$, che caratterizza gli operatori di proiezione.
Invece $T^2=I$ caratterizza una classe diversa di operatori, le simmetrie. Infatti se $T^2=I$ e se il campo $K$ ha caratteristica diversa da $2$ allora esistono due sottospazi $U, W$ di $V$ tali che $V=U oplus W$ e $Tu=u, Tw=-w$ per ogni $u\in U, w \in W$, il che comporta - come sottoprodotto - la diagonalizzabilità. Questo fatto è una conseguenza immediata dell'identità
$v=1/2(v-Tv)+1/2(v+Tv),\quad v \in V$.
Si dice che $T$ è la simmetria di asse $U$ e direzione $W$.
Maggiori informazioni qui, Esercizio 1.8.6 pag.70.
Invece $T^2=I$ caratterizza una classe diversa di operatori, le simmetrie. Infatti se $T^2=I$ e se il campo $K$ ha caratteristica diversa da $2$ allora esistono due sottospazi $U, W$ di $V$ tali che $V=U oplus W$ e $Tu=u, Tw=-w$ per ogni $u\in U, w \in W$, il che comporta - come sottoprodotto - la diagonalizzabilità. Questo fatto è una conseguenza immediata dell'identità
$v=1/2(v-Tv)+1/2(v+Tv),\quad v \in V$.
Si dice che $T$ è la simmetria di asse $U$ e direzione $W$.
Maggiori informazioni qui, Esercizio 1.8.6 pag.70.
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