Esercizio Funzione lineare con polinomio, matrice associata e isomorfismo
Ciao a tutti! mi chiamo Lorenzo sono nuovo del forum e per prima cosa vorrei ringraziarvi per il lavoro che fate sempre precisi e disponibili 
Ho un problema con questo esercizio d'esame che mi sta complicando l'esistenza.. Ho cercato in giro e non ho trovato particolari aiuti per risolverlo quindi sto chiedendo (abbiate pietà 
)
Il testo dice
Si consideri la funzione
f : R2[x] $\to$ R2[x]; p(x) $\to$ p''(x) + p'(x) + p(x).
(a) Dimostrare che la funzione f è lineare.
(b) Stabilire se f è un isomorfismo.
(c) Dire se f è semplice.
non ho problemi sul punto a) basta dimostrare somma e scalare come sempre.. i problemi sono sul b) io so che per dimostrare che f è isomorfismo devo scrivere la matrice associata alla funzione e vedere se il det è diverso da 0 e la matrice invertibile in tal caso è isomorfismo.. quello che non so fare è proprio scrivere la matrice e chiaramente questo mi impedisce di passare al punto c dove andrei a cercare il det (A-$\lambda$Id) ecc.
potreste gentilmente aiutarmi a capire come si scrive la matrice? so che la base canonica di R2[x] è {1,x,$x^2$} e che dovrei lavorare con le immagini ma proprio non sto riuscendo a venirne a capo. grazie in anticipo a tutti
Ho un problema con questo esercizio d'esame che mi sta complicando l'esistenza.. Ho cercato in giro e non ho trovato particolari aiuti per risolverlo quindi sto chiedendo (abbiate pietà )Il testo dice
Si consideri la funzione
f : R2[x] $\to$ R2[x]; p(x) $\to$ p''(x) + p'(x) + p(x).
(a) Dimostrare che la funzione f è lineare.
(b) Stabilire se f è un isomorfismo.
(c) Dire se f è semplice.
non ho problemi sul punto a) basta dimostrare somma e scalare come sempre.. i problemi sono sul b) io so che per dimostrare che f è isomorfismo devo scrivere la matrice associata alla funzione e vedere se il det è diverso da 0 e la matrice invertibile in tal caso è isomorfismo.. quello che non so fare è proprio scrivere la matrice e chiaramente questo mi impedisce di passare al punto c dove andrei a cercare il det (A-$\lambda$Id) ecc.
potreste gentilmente aiutarmi a capire come si scrive la matrice? so che la base canonica di R2[x] è {1,x,$x^2$} e che dovrei lavorare con le immagini ma proprio non sto riuscendo a venirne a capo. grazie in anticipo a tutti
Risposte
Ciao e benvenuto 
ma non c'è bisogno di usare matrici e cose del genere sempre.
per un endomorfismo chiaramente vale $dimV=dimKer(f)+dimIm(f)$ ed è chiaro che se $dimKer(f)=0$ allora è un isomorfismo(sapresti dirmi il perchè?)
in poche parole $f(ax^2+bx+c)=ax^2+(2a+b)x+(2a+b+c)$
(basta derivare un generico polinomio di grado due e sommarne i coefficienti no?)
e chiaramente se lo uguagli a zero trovi che $a=b=c=0$ quindi il nucleo contiene solo il polinomio nullo, si ha un isomorfismo.
per semplice cosa intendi?
comunque la matrice rispetto alla base canonica sarebbe data da
però vorrei che mi dicessi perchè viene proprio questa rispetto alla base canonica.
ma non c'è bisogno di usare matrici e cose del genere sempre.
per un endomorfismo chiaramente vale $dimV=dimKer(f)+dimIm(f)$ ed è chiaro che se $dimKer(f)=0$ allora è un isomorfismo(sapresti dirmi il perchè?)
in poche parole $f(ax^2+bx+c)=ax^2+(2a+b)x+(2a+b+c)$
(basta derivare un generico polinomio di grado due e sommarne i coefficienti no?)
e chiaramente se lo uguagli a zero trovi che $a=b=c=0$ quindi il nucleo contiene solo il polinomio nullo, si ha un isomorfismo.
per semplice cosa intendi?
comunque la matrice rispetto alla base canonica sarebbe data da
$M=[(1,0,0),(2,1,0),(2,1,1)]$
però vorrei che mi dicessi perchè viene proprio questa rispetto alla base canonica.
ookay.. beh direi che se dim Ker(f) = 0 la funzione è iniettiva e quindi dato che è un endomorfismo è anche suriettiva e queste due cose insieme ci dicono che è un isomorfismo giusto? ma se ho proprio bisogno di trovare la matrice che comunque mi sembra più rapido come metodo come posso fare?
per semplice intende quando la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica
edit. ho appena visto che hai aggiunto la matrice alla risposta.. il problema sta li.. e ti rigiro la domanda perchè viene quella matrice?
edit.2 ok quindi diciamo che le componenti della matrice rispetto alla canonica sono i coefficienti di x^2, x, 1.. quello che non ho capito è come sei arrivato ai coefficienti.. cioè.. prendiamo un generico p(x) = ax^2 + bx + c.. e poi? diciamo che è uguale alla somma di quella roba li e poi raccolgo?
per semplice intende quando la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica
edit. ho appena visto che hai aggiunto la matrice alla risposta.. il problema sta li.. e ti rigiro la domanda perchè viene quella matrice?
edit.2 ok quindi diciamo che le componenti della matrice rispetto alla canonica sono i coefficienti di x^2, x, 1.. quello che non ho capito è come sei arrivato ai coefficienti.. cioè.. prendiamo un generico p(x) = ax^2 + bx + c.. e poi? diciamo che è uguale alla somma di quella roba li e poi raccolgo?
Più rapido in questo caso no, perchè comunque si risolve subito il calcolo del nucleo.
Comunque si, in sostanza è dato dal fatto che se $L:V->W$ è un omomorfismo con $dimV=dimW$ allora se $dimKer(L)=0$ si ha che $dimW=dimV=dimKer(L)+dimIm(L)=dimIm(L)$ quindi in poche parole l'immagine sarebbe un sottospazio della stessa dimensione e quindi $W=Im(L)$ da cui la suriettività.
Per la costruzione hai semplicemente la somma $P(x)+P'(x)+P''(x)$
quindi prendi $P(x)$ lo derivi due volte e sommi tutto, nulla di macabro.
Comunque la matrice si trova scrivendo per colonne gli scalari della combinazione lineare dell'immagine dei vettori della base in entrata rispetto a quella in uscita no?
$f(x^2)=f(1x^2+0x+0)=x^2+(2+0)x+(2+0+0)=x^2+2x+2$
quindi la prima colonna sarà $[(1),(2),(2)]$
cosa puoi dirmi su $f(x)$ e $f(0)$?
Comunque si, in sostanza è dato dal fatto che se $L:V->W$ è un omomorfismo con $dimV=dimW$ allora se $dimKer(L)=0$ si ha che $dimW=dimV=dimKer(L)+dimIm(L)=dimIm(L)$ quindi in poche parole l'immagine sarebbe un sottospazio della stessa dimensione e quindi $W=Im(L)$ da cui la suriettività.
Per la costruzione hai semplicemente la somma $P(x)+P'(x)+P''(x)$
quindi prendi $P(x)$ lo derivi due volte e sommi tutto, nulla di macabro.
Comunque la matrice si trova scrivendo per colonne gli scalari della combinazione lineare dell'immagine dei vettori della base in entrata rispetto a quella in uscita no?
$f(x^2)=f(1x^2+0x+0)=x^2+(2+0)x+(2+0+0)=x^2+2x+2$
quindi la prima colonna sarà $[(1),(2),(2)]$
cosa puoi dirmi su $f(x)$ e $f(0)$?
Quindi per f(x) = f(0x^2 + 1x + 0) = 0 + (2*0 + 1)x + (2*0 + 1 + 0) = x+1 e quindi la colonna 0 1 1
e per f(0)? = f(0x^2 + 0x + 1) = 0 + (2*0 + 0)x + (2*0 +0 + 1) = 1 e quindi la colonna 0 0 1
già che ci siamo allora toglimi per favore un dubbio.. perchè fai f(x^2) , poi f(x) e poi f(0)? quello che sta all'interno delle parentesi non dovrebbe essere le componenti della base canonica? e quindi fare f(x^2) , f(x) e f(1)? oppure sto dicendo un eresia?
e per f(0)? = f(0x^2 + 0x + 1) = 0 + (2*0 + 0)x + (2*0 +0 + 1) = 1 e quindi la colonna 0 0 1
già che ci siamo allora toglimi per favore un dubbio.. perchè fai f(x^2) , poi f(x) e poi f(0)? quello che sta all'interno delle parentesi non dovrebbe essere le componenti della base canonica? e quindi fare f(x^2) , f(x) e f(1)? oppure sto dicendo un eresia?
si le colonne sono corrette.
in sostanza quello che faccio è semplicemente prendere un vettore della base, sia esso $e_j$ e scriverlo come
e poi costruire la matrice.
Quindi in poche parole calcolo l'immagine dei vettori della base e le scrivo come combinazioni lineare dei vettori rispetto all'altra base, poi prendo gli scalari e li metto in colonna.
in sostanza quello che faccio è semplicemente prendere un vettore della base, sia esso $e_j$ e scriverlo come
$f(e_j)=lambda_(j1)e_1+...+lambda_n e_(jn)$
e poi costruire la matrice.
Quindi in poche parole calcolo l'immagine dei vettori della base e le scrivo come combinazioni lineare dei vettori rispetto all'altra base, poi prendo gli scalari e li metto in colonna.
perfetto guarda non so come ringraziarti! alla fine tutto ciò si è rivelato essere molto più facile e immediato rispetto a quanto mi ero immaginato insomma.. grazie ancora e buona giornata
alla fine tutto ciò si è rivelato essere molto più facile e immediato rispetto a quanto mi ero immaginato insomma.. grazie ancora e buona giornata
Figurati.
L'unica cosa rognosa del costruire la matrice è data dal trovare le combinazione lineare delle immagini, poi per il resto si usa sempre lo stesso procedimento
L'unica cosa rognosa del costruire la matrice è data dal trovare le combinazione lineare delle immagini, poi per il resto si usa sempre lo stesso procedimento
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