Esercizio funzione iniettiva, suriettiva
Sia L la funzione lineare da R4 in R3 associata alla matrice
1 3 2 2
1 1 1 2
0 2 1 0
L è iniettiva? L è suriettiva?
Se possibile, si determini una base dell'immagine e la si estenda ad una base di R3.
GRAZIE PER LE EVENTUALI RISPOSTE!!!CIAO!!!
1 3 2 2
1 1 1 2
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L è iniettiva? L è suriettiva?
Se possibile, si determini una base dell'immagine e la si estenda ad una base di R3.
GRAZIE PER LE EVENTUALI RISPOSTE!!!CIAO!!!
Risposte
quali sono le tue idee al riguardo? come pensi che potresti verificare che sia iniettiva o suriettiva o confutare il fatto?
Premetto che sono all'inizio e sto cercando si capirci qualcosa =))
allora,
se è iniettiva allora la nullità è pari a zero (quindi la dim del nucleo è zero)...giusto??
se è suriettiva il rango è pari alla dimensione di R3 (ossia la dimesione dell'immagine dev'essere 3)..giusto???
da quel che mi risulta è iniettiva ma non suriettiva e una base potrebbe esser (1,1,0) e (3,1,2)
allora,
se è iniettiva allora la nullità è pari a zero (quindi la dim del nucleo è zero)...giusto??
se è suriettiva il rango è pari alla dimensione di R3 (ossia la dimesione dell'immagine dev'essere 3)..giusto???
da quel che mi risulta è iniettiva ma non suriettiva e una base potrebbe esser (1,1,0) e (3,1,2)
in realtà è il contrario:
se la funzione muta dominio in codominio tali che sia:
$RR^(n+1) rArr RR^(n)$, la funzione PUO' e sottolineo PUO' essere suriettiva poichè, per le relazioni del Teorema di Grassman, la dimensione del nucleo sarà almeno $>=1$ (la dimensione di quest'ultimo dipenderà ovviamente dall'immagine). (Può anche non esserlo però!)
al contrario, se la funzione muta dominio in codominio tali che sia $RR^(n) rArr RR^(n+1)$, essa può essere iniettiva, dato che il nucleo deve essere per forza il vettore nullo... questo detto sempre in relazione al Teorema di Grassman (spero tu l'abbia fatto):
$dimKerf+dimIm = n$
spero di essere stato chiaro sebbene conciso... ciao!
se la funzione muta dominio in codominio tali che sia:
$RR^(n+1) rArr RR^(n)$, la funzione PUO' e sottolineo PUO' essere suriettiva poichè, per le relazioni del Teorema di Grassman, la dimensione del nucleo sarà almeno $>=1$ (la dimensione di quest'ultimo dipenderà ovviamente dall'immagine). (Può anche non esserlo però!)
al contrario, se la funzione muta dominio in codominio tali che sia $RR^(n) rArr RR^(n+1)$, essa può essere iniettiva, dato che il nucleo deve essere per forza il vettore nullo... questo detto sempre in relazione al Teorema di Grassman (spero tu l'abbia fatto):
$dimKerf+dimIm = n$
spero di essere stato chiaro sebbene conciso... ciao!
mah..non sono d'accordo che il nucleo debba essere per forza il vettore nullo se la applicazione lineare va da uno spazio di dimensione n ad uno di dimensione n+1.
Prendi la funzione $RR^2->RR^3$ $((x_1),(x_2))=>((x_1),(x_1),(x_1))$. In questo caso il nucleo ha dimension 1 e una base è $((0,1))$.
Quello che si può dire secondo me è che: se l'applicazione va da $RR^nrArrRR^m$ con $nm$ l'applicazione non può essere iniettiva..
Prendi la funzione $RR^2->RR^3$ $((x_1),(x_2))=>((x_1),(x_1),(x_1))$. In questo caso il nucleo ha dimension 1 e una base è $((0,1))$.
Quello che si può dire secondo me è che: se l'applicazione va da $RR^nrArrRR^m$ con $n
ovviamente nel tuo caso l'applicazione non è iniettiva..controlla,il vettore $((2),(0),(0),(-1))$ ha immagine nulla..
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