Esercizio (forse errato) sulle applicazioni lineari e gli autovettori
Salve, ripetendo algebra lineare, mi sono trovato davanti a un esercizio che mi sta creando non pochi problemi. L'esercizio è il numero 9 del capitolo 9 di "Algebra Lineare" (Serge Lang) e dice:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo dei complesso. Siano $A$ e $B$ due applicazioni lineari dello spazio $V$ in se stesso. Dimostrare che A e B hanno un autovettore in comune.[Suggerimento: se $\lambda$ è un autovalore di $A$, si consideri lo spazio $V_(\lambda)$ costituito da tutti i vettori $v$ tali che $Av= \lambda v$ e si dimostri che $B$ applica questo spazio in sè stesso. Poi proseguire da soli.]"
Dopo averci passato un po' di tempo, ho provato a fare qualche esempio e mi è sembrato che l'enunciato fosse falso. L'esempio che ho fatto è stato questo:
$ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ), B=( ( 1 , 2 ),( 3 , 4 ) ) $
Un autovalore di $A$ è banalmente $1$ e dunque lo spazio di cui parla il suggerimento può essere $ V_(\lambda)={(x,0),x\in CC} $, ora applicando $B$ a questo spazio ottengo un altro spazio che è: $ W={(x,3x),x\in CC} $ e dunque ciò che afferma il suggerimento è falso e penso quindi anche ciò che devo dimostrare (anche perché non mi sembra che le due applicazioni associate alle matrici abbiano autovettori in comune).
Se non vi reca disturbo, potreste dirmi se ho commesso qualche errore nel ragionamento o se effettivamente l'enunciato e/o il suggerimento è/sono sbagliato/i ?
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo dei complesso. Siano $A$ e $B$ due applicazioni lineari dello spazio $V$ in se stesso. Dimostrare che A e B hanno un autovettore in comune.[Suggerimento: se $\lambda$ è un autovalore di $A$, si consideri lo spazio $V_(\lambda)$ costituito da tutti i vettori $v$ tali che $Av= \lambda v$ e si dimostri che $B$ applica questo spazio in sè stesso. Poi proseguire da soli.]"
Dopo averci passato un po' di tempo, ho provato a fare qualche esempio e mi è sembrato che l'enunciato fosse falso. L'esempio che ho fatto è stato questo:
$ A=( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ), B=( ( 1 , 2 ),( 3 , 4 ) ) $
Un autovalore di $A$ è banalmente $1$ e dunque lo spazio di cui parla il suggerimento può essere $ V_(\lambda)={(x,0),x\in CC} $, ora applicando $B$ a questo spazio ottengo un altro spazio che è: $ W={(x,3x),x\in CC} $ e dunque ciò che afferma il suggerimento è falso e penso quindi anche ciò che devo dimostrare (anche perché non mi sembra che le due applicazioni associate alle matrici abbiano autovettori in comune).
Se non vi reca disturbo, potreste dirmi se ho commesso qualche errore nel ragionamento o se effettivamente l'enunciato e/o il suggerimento è/sono sbagliato/i ?
Risposte
Non trovo l'esercizio.
Che edizione usi?
Che edizione usi?
L'ISBN 13 è 9788833950358, cercandolo mi esce come 8° edizione.
Inoltre sul pdf sta scritto: "stampato in Italia... 1 Gennaio 1984".
Purtroppo non ho trovato sul pdf anche l'edizione, quindi non sono sicuro che sia quella corretta.
Inoltre sul pdf sta scritto: "stampato in Italia... 1 Gennaio 1984".
Purtroppo non ho trovato sul pdf anche l'edizione, quindi non sono sicuro che sia quella corretta.
Trovato... Al contrario di altri testi della Boringhieri che ho usato, ci sono esercizi anche tra i vari paragrafi, mentre io per abitudine guardavo a fine capitolo.
Confrontando il testo con quelli degli esercizi precedente e successivo, salta all'occhio che manca l'ipotesi che le due applicazioni commutino, i.e. che $AB=BA$... Può darsi si tratti di un errore di stampa.
(E difatti nel tuo caso $AB=((1,2),(6,8)) != ((1,4),(3,8))=BA$, quindi le applicazioni non commutano!)
Confrontando il testo con quelli degli esercizi precedente e successivo, salta all'occhio che manca l'ipotesi che le due applicazioni commutino, i.e. che $AB=BA$... Può darsi si tratti di un errore di stampa.
(E difatti nel tuo caso $AB=((1,2),(6,8)) != ((1,4),(3,8))=BA$, quindi le applicazioni non commutano!)
Grazie per la risposta, come sempre sei molto gentile (avevo immaginato che la commutatività forse fondamentale, ma averne la certezza mi rassicura).
@mkplo
Mi hai fatto tornare in mente un bel corso di Sadun.
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... 7Fu_mvij8F
Guarda i video 78 e 79
Mi hai fatto tornare in mente un bel corso di Sadun.
https://www.youtube.com/playlist?list=P ... 7Fu_mvij8F
Guarda i video 78 e 79
Grazie del consiglio.
Dopo averci passato un po' di tempo, ho provato a fare qualche esempio e mi è sembrato che l'enunciato fosse falso. L'esempio che ho fatto è stato questo:
Bene! In questo caso, trovare l'errore nell'esercizio è stato più istruttivo ancora che risolverlo.
Effettivamente prendere tempo per capire le cose, facendo esempi o controesempi, risulta molto utile per imparare. Avevate ragione nel dirmi di andare piano con gli argomenti e non vedo l'ora di iniziare l'università (il 23 settembre) per incominciare uno studio ancore più ordinato.
Grazie per tutto l'aiuto in questi anni.
Grazie per tutto l'aiuto in questi anni.
"mklplo":
Effettivamente prendere tempo per capire le cose, facendo esempi o controesempi, risulta molto utile per imparare.
E' il principale modo di imparare...sporcarsi le mani.
Fondamentalmente, mettersi alla prova significa due cose:
a) (perlomeno) tentare di risolvere un problema da soli
b) se si ha successo (e magari un grosso successo perchè si è provato un teorema da soli...cosa che ogni tanto capita a tutti), provare a spiegare a se stessi il concetto come se lo si stesse spiegando ad un neofita particolarmente sveglio e pedante (e quindi ponendosi le più bieche e acerrime obiezioni)...finchè effettivamente il concetto non diventa chiaro e pulito nella propria testa.
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