Esercizio formula di Grassman
Salve,
Ho questo esercizio
Dati due sottospazi di $RR^4$
$U=(0,-2a,a,a)$ con $a in RR$
$V=(x,y,z,t) $ con $x+y=z-t=0$
verificare la formula di Grassman
Per quali valori di $ k$ appartenente a $RR$ il vettore (1,-1,0,k) è un elemento di U+V?
Allora io so che il teorema di Grassman afferma che
$dim(U)+dim(V)=dim(U+V)+dim(U cap V)$
Ma non so come fare l'esercizio!
Grazie
P.S. come si fanno i simboli matematici di appartenente a e intersezione?
Editato grazie
Ho questo esercizio
Dati due sottospazi di $RR^4$
$U=(0,-2a,a,a)$ con $a in RR$
$V=(x,y,z,t) $ con $x+y=z-t=0$
verificare la formula di Grassman
Per quali valori di $ k$ appartenente a $RR$ il vettore (1,-1,0,k) è un elemento di U+V?
Allora io so che il teorema di Grassman afferma che
$dim(U)+dim(V)=dim(U+V)+dim(U cap V)$
Ma non so come fare l'esercizio!
Grazie
P.S. come si fanno i simboli matematici di appartenente a e intersezione?
Editato grazie
Risposte
Appertenenza: in
intersezione: cap (ovviamente entrambi preceduti dallo slash).
Quello che devi fare è determinare le dimensioni dei due spazi e dello spazio intersezione. Sei in grado?
intersezione: cap (ovviamente entrambi preceduti dallo slash).
Quello che devi fare è determinare le dimensioni dei due spazi e dello spazio intersezione. Sei in grado?
Ho le idee confuse credo che
$Dim(U)=1$
$Dim(V)=2$
E' giusto?
$Dim(U)=1$
$Dim(V)=2$
E' giusto?
Sì (anche se avessi spiegato il perché sarebbe stato più utile). Adesso per l'intersezione dei due spazi come faresti?
Il primo sottospazio dipende solo da $a$ mentre nel secondo ho due variabili dipendenti e due indipendenti quindi ho fatto 2.
L'intersezione credo sia 1 , perchè almeno un vettore linearmente indipendente è comune nei due spazi
L'intersezione credo sia 1 , perchè almeno un vettore linearmente indipendente è comune nei due spazi
Dici? A me pare che l'intersezione sia $\{(0,0,0,0)\}$.
E come dovrei fare per fare l'intersezione? Grazie
Devi determinare quali vettori sono contemporaneamente in $U$ e $V$, considerando che dal ragionamento che hai fatto prima dovresti saperli scrivere in forma generale i vettori nei due sottospazi.
Ciao scusa il ritardo nella risposta ma come ho scritto nell'altro post ho avuto la connessione offline.
Non so come determinare quali vettori sono contemporaneamente in $U$ e $V$
Non so come determinare quali vettori sono contemporaneamente in $U$ e $V$
Un vettore generico di $U$ ha la forma $(0,-2x,x,x)$, uno di $V$ ha la forma $(-y,y,z,z)$. Esistono valori di $x,y,z$ per cui ottieni contemporaneamente un vettore di $U$ e uno di $V$?
quindi il vettore nullo
Sì, ma perché viene fuori il vettore nullo? Come fai a dimostrarlo?
Perchè l'unico modo con cui le componenti del primo possono essere uguali al secondo e moltiplicandole per uno scalare 0 .
E' giusto?
E' giusto?
Mmmmmm.... è detto in modo strano. In realtà il motivo è che se uguagli componente per componente viene fuori un sistema di equazioni che ha solo la soluzione banale.
Era quello che volevo dire sono un pò confuso grazie
grazie
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