Esercizio forme quadratiche e forme bilineari
Buon pomeriggio avrei da chiedervi aiuto in merito al seguente esercizio:
Si consideri la forma quadratica q : $RR$$^4$ $\rightarrow$ $RR$ definita ponendo
q(($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$))= $x_1^2$ + 2$x_4^2$ + 4$x_1$ $x_3$ + 2$x_1$ $x_4$ + 4$x_2$ $x_3$
per ogni vettore ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$) $in$ $RR$$^4$ e sia b la forma bilineare associata a q. Verificare se b così definita è un prodotto scalare.
Dunque so che per definizione f( u, v)= $1/2$(q (u + v) - q(u) - q(v)), dove q è la forma quadratica associata alla forma bilineare f e, per verificare se una forma bilineare è un prodotto scalare, bisogna che questa sia "definita positiva". Per far ciò i determinanti dei minori principali della matrice che rappresenta la suddetta forma bilineare, devono risultare tutti positivi. Potete dirmi se queste nozioni sono esatte o meno e darmi almeno qualche suggerimento su come procedere? Grazie in anticipo io non so proprio dove mettere mano ed è già un pò che ci penso su
Si consideri la forma quadratica q : $RR$$^4$ $\rightarrow$ $RR$ definita ponendo
q(($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$))= $x_1^2$ + 2$x_4^2$ + 4$x_1$ $x_3$ + 2$x_1$ $x_4$ + 4$x_2$ $x_3$
per ogni vettore ($x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$) $in$ $RR$$^4$ e sia b la forma bilineare associata a q. Verificare se b così definita è un prodotto scalare.
Dunque so che per definizione f( u, v)= $1/2$(q (u + v) - q(u) - q(v)), dove q è la forma quadratica associata alla forma bilineare f e, per verificare se una forma bilineare è un prodotto scalare, bisogna che questa sia "definita positiva". Per far ciò i determinanti dei minori principali della matrice che rappresenta la suddetta forma bilineare, devono risultare tutti positivi. Potete dirmi se queste nozioni sono esatte o meno e darmi almeno qualche suggerimento su come procedere? Grazie in anticipo io non so proprio dove mettere mano ed è già un pò che ci penso su
Risposte
Le condizioni affinchè sia un prodotto scalare è che la matrice associata sia simmetrica e che sia def.positiva.
Per la seconda condizione puoi o studiarti tutti i minori principali (i quali devono essere positivi) oppure puoi studiarti gli autovalori (anche loro positivi). A te la scelta
Per la seconda condizione puoi o studiarti tutti i minori principali (i quali devono essere positivi) oppure puoi studiarti gli autovalori (anche loro positivi). A te la scelta
Grazie mille ci proverò
L'esercizio credo di averlo finito posso solo sapere per sicurezza se la matrice associata è la seguente:
$((1,0,2,1),(0,0,2,0),(2,2,0,0),(1,0,0,2))$ ?
$((1,0,2,1),(0,0,2,0),(2,2,0,0),(1,0,0,2))$ ?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo