Esercizio forma di Jordan e polinomio minimo

[nick_10]

Salve! Volevo chiarire i miei dubbi su questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita e sia $f ∈ End(V )$ un endomorfismo tale che, detti $λ_1, . . . , λ_k ∈ C$ gli autovalori di $f$, si abbia per ogni $i = 1, . . . , k$ $dim Ker(f − λ_(i)id)^2 = 2 dim Ker(f − λ_(i)id).$
a)Dimostrare che il polinomio minimo di $f$ ha grado maggiore o uguale a $2k$.
(b) Dimostrare che se il polinomio minimo di $f$ ha grado uguale a $2k$ allora $V$ ha dimensione pari.
(c) Dimostrare che esiste una base di $V$ di Jordan per $f$ che sia anche una base di Jordan per $f^2$ se e solo se il polinomio minimo di $f$ ha grado uguale a $2k$ e lo spettro di $f$ è contenuto in ${0,1/2}$

Per il primo punto ho pensato che il grado del polinomio minimo dipende dalle dimensioni degli autospazi generalizzati e quindi in base all'ipotesi del testo la minima dimensione di $V'_(lambda)(i)$ è 2. Da qui la tesi(?)
Per il secondo invece, se il grado del polinomio minimo è esattamente $2k$, allora $dim V'_(lambda)(i)=2 AA lambda_i in Sp(f)$
e quindi dalla decomposizione in somma diretta segue la tesi: $V=V'_(lambda)(1) oplus....oplus V'_(lambda)(k)$

[nick_10]

Giusto giusto
Grazie mille per tutto