Esercizio forma bilineare definita positiva.
Salve a tutti.
Potreste dirmi se va bene quanto segue?
Sia $g : $ $R^3$ $x$ $R^3$ $ -> R$ , definita da $g(x,y) = x x' + 2xy' + 2x'y + 3yy' + zz'$ .
Voglio verificare se si tratti o meno di un prodotto scalare su $R^3$ .
Io procedo in questo modo:
so che una forma bilineare è un prodotto scalare se e solo se $g$ $in$ $B_s$ $($ $R^3$ $)$ , ossia è una forma bilineare simmetica, e se è definita positiva.
Si vede che è una forma bilineare simmetrica in quanto la sua matrice associata rispetto alla base canonica di $R^3$ è simmetrica.
Ma non mi viene definita positiva, in quanto applicando il criterio di Sylvester, i suoi minori principali non sono tutti positivi.
Giusto?
Potreste dirmi se va bene quanto segue?
Sia $g : $ $R^3$ $x$ $R^3$ $ -> R$ , definita da $g(x,y) = x x' + 2xy' + 2x'y + 3yy' + zz'$ .
Voglio verificare se si tratti o meno di un prodotto scalare su $R^3$ .
Io procedo in questo modo:
so che una forma bilineare è un prodotto scalare se e solo se $g$ $in$ $B_s$ $($ $R^3$ $)$ , ossia è una forma bilineare simmetica, e se è definita positiva.
Si vede che è una forma bilineare simmetrica in quanto la sua matrice associata rispetto alla base canonica di $R^3$ è simmetrica.
Ma non mi viene definita positiva, in quanto applicando il criterio di Sylvester, i suoi minori principali non sono tutti positivi.
Giusto?
Risposte
Qualcuno riesce ad aiutarmi?
A me i minori vengono $1$, $-1$, $-1$, per cui direi di no.
Calcola \(g((1,-1, 0), (1, -1,0))\).
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