Esercizio esistenza applicazione lineare al variare di un parametro
Salve a tutti. E' il secondo post che scrivo in questo forum quindi perdonatemi se ci sono delle imprecisioni.
Volevo proporre un esercizio ed una soluzione abbozzata. Se potesse interessare devo sostenere il primo esame di geometria del corso di fisica a Tor Vergata. La soluzione abbozzata l'ho "estrapolata" da un altro thread su un argomento simile.
Testo dell'esercizio:
Sia \(\beta=\{e_1, e_2, e_3\}\) la base standard di \(\mathbb{R}^3\). Dire per quali valori del parametro reale \(k\) esiste un'applicazione lineare \(f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che:
\[
f(e_1+e_2)=e_1-6e_2-7e_3, \quad f(e_1+ke_2)=e_1+e_2-2e_3, \quad f(e_2+e_3)=-5e_1-8e_2+e_3.
\]
Soluzione proposta da me:
Se i vettori \(\{e_1+e_2, e_1+ke_2, e_2+e_3\}\) sono linearmente indipendenti allora formano una base di \(\mathbb{R}^3\), \( f \) è completamente determinata e non c'è nulla da verificare. Se invece sono linearmente dipendenti, allora si possono fare delle verifiche sulla linearità.
Si trova che solo per \(k=1\) essi sono l. dipendenti e si ha che:
\[
f(e_1+e_2)=e_1-6e_2-7e_3 \ne e_1+e_2-2e_3=f(e_1+ke_2)
\]ma dovrebbero essere uguali per \(k=1\), dunque l'applicazione non può esistere.
In conclusione l'applicazione esiste per \(k \in \mathbb{R} \backslash \{1\}.\)
Io penso che la mia soluzione sia giusta ma sono quasi sicuro che la motivazione non sia né precisa né rigorosa.
Grazie in anticipo ragazzi per l'aiuto.
Volevo proporre un esercizio ed una soluzione abbozzata. Se potesse interessare devo sostenere il primo esame di geometria del corso di fisica a Tor Vergata. La soluzione abbozzata l'ho "estrapolata" da un altro thread su un argomento simile.
Testo dell'esercizio:
Sia \(\beta=\{e_1, e_2, e_3\}\) la base standard di \(\mathbb{R}^3\). Dire per quali valori del parametro reale \(k\) esiste un'applicazione lineare \(f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) tale che:
\[
f(e_1+e_2)=e_1-6e_2-7e_3, \quad f(e_1+ke_2)=e_1+e_2-2e_3, \quad f(e_2+e_3)=-5e_1-8e_2+e_3.
\]
Soluzione proposta da me:
Se i vettori \(\{e_1+e_2, e_1+ke_2, e_2+e_3\}\) sono linearmente indipendenti allora formano una base di \(\mathbb{R}^3\), \( f \) è completamente determinata e non c'è nulla da verificare. Se invece sono linearmente dipendenti, allora si possono fare delle verifiche sulla linearità.
Si trova che solo per \(k=1\) essi sono l. dipendenti e si ha che:
\[
f(e_1+e_2)=e_1-6e_2-7e_3 \ne e_1+e_2-2e_3=f(e_1+ke_2)
\]ma dovrebbero essere uguali per \(k=1\), dunque l'applicazione non può esistere.
In conclusione l'applicazione esiste per \(k \in \mathbb{R} \backslash \{1\}.\)
Io penso che la mia soluzione sia giusta ma sono quasi sicuro che la motivazione non sia né precisa né rigorosa.
Grazie in anticipo ragazzi per l'aiuto.
Risposte
anche a me sembra tutto corretto ed anche la spiegazione va benissimo, al netto dei conti che non ho controllato.
Bene! Grazie.
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