[Esercizio] Equazioni retta, piano parallelo ad una retta
Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio affine euclideo di dimensione 3,
1. scrivere le equazioni paraqmetriche e cartesiane della retta r per i punti $P(-1,0,2);Q(2,1,1)$
2. si trovi il piano contenente $r$ e parallelo alla retta $s: x+y-z-1=0=x+3z-8$
per 1.
come si fa a determinaer l'equazione di una retta passante per due punti? cercando su internet ho trovato $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ allora ho fatto le opportune sostituzioni e considerando lo spazio a tre dimensioni mi ritrovo con
$(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)=(z-z_1)/(z_2-z_1)$
$(x+1)/3=y/1=(z-1)/1$ da cui mi sono ricavato $x-3y-3z+4=0$ e già qui non mi ritrovo più!
questa dovrebbe esser l'equazione di una retta? a me sembra di un piano
[mod="cirasa"]Modificato il titolo del thread. Ne ho messo uno che ne riassume il contenuto[/mod]
1. scrivere le equazioni paraqmetriche e cartesiane della retta r per i punti $P(-1,0,2);Q(2,1,1)$
2. si trovi il piano contenente $r$ e parallelo alla retta $s: x+y-z-1=0=x+3z-8$
per 1.
come si fa a determinaer l'equazione di una retta passante per due punti? cercando su internet ho trovato $(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)$ allora ho fatto le opportune sostituzioni e considerando lo spazio a tre dimensioni mi ritrovo con
$(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1)=(z-z_1)/(z_2-z_1)$
$(x+1)/3=y/1=(z-1)/1$ da cui mi sono ricavato $x-3y-3z+4=0$ e già qui non mi ritrovo più!
questa dovrebbe esser l'equazione di una retta? a me sembra di un piano
[mod="cirasa"]Modificato il titolo del thread. Ne ho messo uno che ne riassume il contenuto[/mod]
Risposte
Hai ottenuto l'equazione di un piano. Mentre la retta deve essere ottenuta come intersezione di due piani...
Perciò eguaglia due membri alla volta ed ottieni due piani, l'intersezione rappresenterà la tua retta. Dall'equazione sottoforma di rapporti uguali deduci invece facilmente una rappresentazione parametrica della retta $r$ cercata.
Perciò eguaglia due membri alla volta ed ottieni due piani, l'intersezione rappresenterà la tua retta. Dall'equazione sottoforma di rapporti uguali deduci invece facilmente una rappresentazione parametrica della retta $r$ cercata.
Per il punto 1 segui ciò che ti ha detto mistake, per il 2:
Scrivi l'equazione del fascio di piani per r e imponi la condizione di parallelismo tra retta e piano che ha la forma della condizione di ortogonalità tra due rette(non è un caso,(rifletti!!!)) e il gioco è fatto.
Scrivi l'equazione del fascio di piani per r e imponi la condizione di parallelismo tra retta e piano che ha la forma della condizione di ortogonalità tra due rette(non è un caso,(rifletti!!!)) e il gioco è fatto.
allora per il punto uno seguendo i vostri suggerimenti ottengo (correggetemi se è il caso)
la retta come intersezione tra piani
$\{(y=(x+1)/3),(y=z-2):}$ $\{(x-3y+1=0),(-y+z-2=0):}$
e la forma cartesiana
$\{(x=-1+3l),(y=m),(z=2+n):}$
per il 2 ho un po di perplessità allora
$a(x-y-1)+b(-y+z-2)=0$
la condizoine di ortogonalità tra due rette dovrebbe essere
$y=mx+q, y=m'x+q'$ e se $mxm'=-1$ ortogonali
e mi son perso
la retta come intersezione tra piani
$\{(y=(x+1)/3),(y=z-2):}$ $\{(x-3y+1=0),(-y+z-2=0):}$
e la forma cartesiana
$\{(x=-1+3l),(y=m),(z=2+n):}$
per il 2 ho un po di perplessità allora
Scrivi l'equazione del fascio di piani per r
$a(x-y-1)+b(-y+z-2)=0$
imponi la condizione di parallelismo tra retta e pianoovvero $al+bm+cn=0$
che ha la forma della condizione di ortogonalità tra due rette(non è un caso,(rifletti!!!)) e il gioco è fatto.
la condizoine di ortogonalità tra due rette dovrebbe essere
$y=mx+q, y=m'x+q'$ e se $mxm'=-1$ ortogonali
e mi son perso
oddio forse ci sono... ditemi cosa ho combinato perchè adesso ho staccato il cervello e lo messo a riposare!
La traccia voleva il piano contente r e parallelo alla retta s
Incomincio col determinare il piano che contiene r tramite l'equzioni del fascio di piani
Data $r:\{(x-3y+1=0),(-y+z-2=0):}$
l'equazione del fascio sarà
$a(x-3y+1=0)+b(-y+z-2)=0$
$ax-3ay+a-by+bz-2b=0$
$ax-(3a-b)y+bz+a-2b=0$
Adesso entrano in gioco i parametri direttori della retta s, che essendo intersezione tra due piani dovrebbero essere uguali al determinante delle seguenti
$l=((b,c),(b',c'))$ $m=((c,a),(c',a'))$ $n=((a,b),(a',b')) $ da cui
$l=((1,-1),(1,3))$ $m=((-1,1),(3,1))$ $n=((1,1),(1,0))$
$(l=4, m=-4 ,n=-1)$
Proseguo vado a verificare il parallelismo tra il piano trovato e s(attraverso appunto la condizione di parallelismo $al+bm+cn=0$)
$al-(3a-b)m+bn=0$
$4a+4(3a+b)-b=4a+12a+4b-b=16a+3b=0$
$b=-16/3a$
Sostituisco $b$ nell'eq del fascio di rette
$ax-(3a-(-16/3a))y+(-16/3a)z+a-2(-16/3a)=0$
$ax-(9a-16a)y-16/3a+a+32/3a=ax+7ay-16/3z+35/3a=0$
divido tutto per a e ottengo l'equazione finale $x+7y-16/3z+35/3=0$ che dovrebbe rappresentare l'eq del piano contenente r e parallelo alla retta s
La traccia voleva il piano contente r e parallelo alla retta s
Incomincio col determinare il piano che contiene r tramite l'equzioni del fascio di piani
Data $r:\{(x-3y+1=0),(-y+z-2=0):}$
l'equazione del fascio sarà
$a(x-3y+1=0)+b(-y+z-2)=0$
$ax-3ay+a-by+bz-2b=0$
$ax-(3a-b)y+bz+a-2b=0$
Adesso entrano in gioco i parametri direttori della retta s, che essendo intersezione tra due piani dovrebbero essere uguali al determinante delle seguenti
$l=((b,c),(b',c'))$ $m=((c,a),(c',a'))$ $n=((a,b),(a',b')) $ da cui
$l=((1,-1),(1,3))$ $m=((-1,1),(3,1))$ $n=((1,1),(1,0))$
$(l=4, m=-4 ,n=-1)$
Proseguo vado a verificare il parallelismo tra il piano trovato e s(attraverso appunto la condizione di parallelismo $al+bm+cn=0$)
$al-(3a-b)m+bn=0$
$4a+4(3a+b)-b=4a+12a+4b-b=16a+3b=0$
$b=-16/3a$
Sostituisco $b$ nell'eq del fascio di rette
$ax-(3a-(-16/3a))y+(-16/3a)z+a-2(-16/3a)=0$
$ax-(9a-16a)y-16/3a+a+32/3a=ax+7ay-16/3z+35/3a=0$
divido tutto per a e ottengo l'equazione finale $x+7y-16/3z+35/3=0$ che dovrebbe rappresentare l'eq del piano contenente r e parallelo alla retta s
e il gioco è fatto.
Hai notato che il risultato che hai ottenuto è quello con a=1?.
Non c'era bisogno di fare tutti quei conti, una volta trovata la relazione tra a e b, ne fissi 1 e l'altro esce di conseguenza(lo puoi fare per la teoria delle equazioni : equazioni simili a meno di un fattore di proporzionalità)
Non c'era bisogno di fare tutti quei conti, una volta trovata la relazione tra a e b, ne fissi 1 e l'altro esce di conseguenza(lo puoi fare per la teoria delle equazioni : equazioni simili a meno di un fattore di proporzionalità)
al dire il vero no! 
ciao a tutti. ho bisogno di un aiutino per svolgere questo esercizio
r: 3x + 2y -3z = 0
2x-z-1 = 0
s: x = 1+t
y = -2t
z = -1+6t
1. Determinare la posizione reciproca di r ed s e, se non sono
parallele, trovare la comune perpendicolare e la minima distanza tra
esse.
2. Determinare il punto di s la cui proiezione ortogonale su r sia il punto H(3.3.5).
r: 3x + 2y -3z = 0
2x-z-1 = 0
s: x = 1+t
y = -2t
z = -1+6t
1. Determinare la posizione reciproca di r ed s e, se non sono
parallele, trovare la comune perpendicolare e la minima distanza tra
esse.
2. Determinare il punto di s la cui proiezione ortogonale su r sia il punto H(3.3.5).
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