Esercizio equazioni cartesiane

[Herahoc]

Salve! Ho un problema con il seguente esercizio:
"Determinare equazioni cartesiane per il sottospazio $W = Span{(0,2,1,1),(3,1,2,2),(1,1,1,1)} $ di $R^4$ "

Io ho ridotto a scala la matrice associata ai tre vettori generatori di W e ho trovato che W ha dimensione 2 e che ${\vec w_1$,$\vec w_2}$è una base di W.
Poi ho stabilito le equazioni parametriche di W $(x,y,z,w)=r(0,2,1,1)+s(3,1,2,2)$
${( x=3s ),( y=2r+s),(z=r+2s),(w=r+2s):} $
e arrivato a questo punto mi risulta difficile eliminare i parametri e fare il passaggio alle equazioni cartesiane

[ludwigZero]

il sottospazio di $RR^4$ essendo generato da due vettori L.I che mi formano base (di cui sappiamo la dimensione dim = 2), sono sufficienti due equazioni cartesiane per descriverlo.

la matrice associata alla base è (i vettori generalmente vanno i colonna...):

$((0,3),(2,1),(1,2),(1,2)) $

la matrice 'completa' a cui dovremo ridurre mediante Gauss è:

$M' = ((0,3,x),(2,1,y),(1,2,z),(1,2,t))$

due equazioni a me vengono:

$y+x = 0$
$z - t = 0$

vedi se vengono anche a te così! (altrimenti scrivo tutti i passaggi per pervenire alla matrice a scala)

[Herahoc]

(Si lo so che i vettori vanno in colonna solo non sono riuscito a scriverli qui sul sito)
A me veniva:
$ { z= 1/2(y+x)} $
è giusto o ho sbagliato io?

[Sk_Anonymous]

Con una sola equazione in x,y,z la t diventa arbitraria, cosa che non è. Le equazioni invece sono 2 e portano al sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=2z\\x+y=2t\end{cases} \)
o se si vuole :
\(\displaystyle \begin{cases}x+y=2z\\t=z\end{cases} \)
In questo secondo modo si vede che t non è arbitraria ma prende i medesimi valori di z.