Esercizio endomorfismo

[silviusss1]

1) sono assegnati in $ R^3 $ la base $ A = v_1 = (1,2,0) , v_2 = (0,0,1) , v_3 = (1,0,-1) $ e l'endomorfismo definito da

$ f(v_1) = h v_1 $
$ f (v_2) = h v_1 + 4 v_2 - v_3 $
$ f (v_3) = (4+2h) v_1 + v_2 + 2 v_3 $

come faccio a trovare la forma canonica, cioè come trovo $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $ ????

2) in generale se ad esempio ho una base $ A = (v_1,v_2,v_3) $ come faccio a passare da:


$ f(v_1) = (h + 1)v_1 + hv_2 + hv_3 $
$ f(v_2) = -v_1 + v_3 $
$ f(v_3) = hv_1 + hv_2 + (h-1)v_3 $

alla forma canonica trovando $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $ visto che solo in questo modo riesco a trovare nucleo e immagine!!

[Steven11]

Ciao,
per trovare l'immagine dei vettori della base canonica, procedi così.
Ad esempio:
[tex]$v_1=(1,2,0)=(1,0,0)+2\cdot (0,1,0)=e_1+2e_2$[/tex]

pertanto [tex]$f(v_1)= f(e_1)+2f(e_2)$[/tex]

Si tratta semplicemente di esprimere l'immagine di quei vettori come combinazione lineare delle immagini dei vettori della base.

Ti torna? Ciao.

[ansioso]

"silviusss":1) sono assegnati in $ R^3 $ la base $ A = v_1 = (1,2,0) , v_2 = (0,0,1) , v_3 = (1,0,-1) $ e l'endomorfismo definito da

$ f(v_1) = h v_1 $
$ f (v_2) = h v_1 + 4 v_2 - v_3 $
$ f (v_3) = (4+2h) v_1 + v_2 + 2 v_3 $

come faccio a trovare la forma canonica, cioè come trovo $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $ ????

2) in generale se ad esempio ho una base $ A = (v_1,v_2,v_3) $ come faccio a passare da:


$ f(v_1) = (h + 1)v_1 + hv_2 + hv_3 $
$ f(v_2) = -v_1 + v_3 $
$ f(v_3) = hv_1 + hv_2 + (h-1)v_3 $

alla forma canonica trovando $ f(e_1), f(e_2), f(e_3) $ visto che solo in questo modo riesco a trovare nucleo e immagine!!

Ti creai la matrice associata
$A=((h,h,4+2h),(0,4,1),(0,-1,2))$ dove $A={f(v_1), f(v_2), f(v_3)}$

e poi determini ker e Img tramite opportuni passaggi li sai?

[Steven11]

"ansioso":
Ti creai la matrice associata
$A=((h,h,4+2h),(0,4,1),(0,-1,2))$ dove $A={f(e_1), f(e_2), f(e_3)}$
e poi determini ker e Img tramite opportuni passaggi li sai?

Semmai sarebbe

$A={f(v_1), f(v_2), f(v_3)}$

[silviusss1]

nella prima parte sei stato chiarissimo

quindi verrebbe ... $ f(e_1) + 2f(e_2) = h v_1 = h (1,,2,0) = (h,2h,0) $ ????

e se l'esercizio mi da solo $ A = (v_1 , v_2 , v_3) $ ???

[ansioso]

si è vero XD ho usato il copia incolla per sbrigarmi ma ho copiato la cosa sbagliata correggo così è più chiaro