Esercizio endomorfismo
- L'endomorfismo f : (x,y,z) appartenente a |R3 -> (x+z, -y, x) è iniettivo, suriettivo, diagonalizzabile? Perchè?
Ho risposto che è iniettiva perché associa tutti gli elementi distinti del dominio, inoltre è suriettiva perché ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Ma diagonalizzabile come faccio a capirlo?
Per sapere se è diagonalizzabile devo ricavarmi gli autovalori e vedere se sono distinti fra loro giusto? Ma come faccio la matrice associata?
Ho risposto che è iniettiva perché associa tutti gli elementi distinti del dominio, inoltre è suriettiva perché ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. Ma diagonalizzabile come faccio a capirlo?
Per sapere se è diagonalizzabile devo ricavarmi gli autovalori e vedere se sono distinti fra loro giusto? Ma come faccio la matrice associata?
Risposte
"giulio0":
Ho risposto che è iniettiva perché associa tutti gli elementi distinti del dominio, inoltre è suriettiva perché ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio
e come l'hai dimostrato? io avrei estratto una base dal ker ed avrei ragionato sulle dimensioni
"giulio0":
Ma diagonalizzabile come faccio a capirlo?
Per sapere se è diagonalizzabile devo ricavarmi gli autovalori e vedere se sono distinti fra loro giusto? Ma come faccio la matrice associata?
devi verificare che le molteplicità degli autovalori coincidano tra loro
prova a dire tu come scrivere la matrice associata, rispetto alla canonica non è difficile qui.
"giulio0":
L'endomorfismo$f : RR^3->RR^3$è iniettivo, suriettivo […]
$(x,y,z)|-> ((x+z),( -y),( x))$
È immediato osservando che
$r((1,0,1),(0,-1,0),(1,0,0))=3$
il che implica possedere un minimo di conoscenza di teoria
"cooper":
io avrei estratto una base dal ker
In che modo?
Allora posto i calcoli per il primo:
faccio la matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
poi utilizzo l'eliminazione gaussiana, quindi scambio l'ultima colonna con la prima:
$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
e trovo 3 pivot, quindi l'immagine è uguale a 3 e quindi la dimensione del nucleo è uguale a zero, e con ciò che faccio?
faccio la matrice associata
$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $
poi utilizzo l'eliminazione gaussiana, quindi scambio l'ultima colonna con la prima:
$ ( ( 1 , 0 , 1),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
e trovo 3 pivot, quindi l'immagine è uguale a 3 e quindi la dimensione del nucleo è uguale a zero, e con ciò che faccio?
"giulio0":
Allora posto i calcoli per il primo:
[…] trovo 3 pivot, quindi $dim(Im(f))=3 hArr dim(ker(f))=0$, e con ciò che faccio?
Quand'è che un endomorfismo è iniettivo/surgettivo?
P.S. dire "l'immagine è uguale 3" non significa nulla.
un endomorfismo è biettivo quando è un automorfismo??
Quindi? Ovvero che cos'è un automorfismo?
"un automorfismo è un isomorfismo di un oggetto matematico in se stesso. È, in un certo senso, una simmetria dell'oggetto" ho preso la definizione da wikipedia perché non ho capito dove vuoi andare a parare xD Non trovo il nesso della domanda con la definizione
Riprendiamo da qui, ieri ero un po' nel mondo degli unicorni 
Un endomorfismo $f: qquad V->V, qquad Vsube RR^n$ è
"giulio0":
un endomorfismo è biettivo quando è un automorfismo??
Un endomorfismo $f: qquad V->V, qquad Vsube RR^n$ è
$\text{ iniettivo} hArr dim(ker(f))=0 hArr dim(Im(f))=n hArr \text{ è surgettivo}$
grazie tantissime, questa definizione sai che non l'ho trovata...
Mentre non è diagonalizzabile perché la molteplicità degli autovalori è zero ovvero minore dell'ordine della matrice, corretto?
Mentre non è diagonalizzabile perché la molteplicità degli autovalori è zero ovvero minore dell'ordine della matrice, corretto?
"giulio0":
questa definizione sai che non l'ho trovata...
Infatti non è una definizione.
"giulio0":
Non è diagonalizzabile perché la molteplicità degli autovalori è zero ovvero minore dell'ordine della matrice, corretto?
Non ha molto senso questa affermazione.
rispondo qui scusandomi per la sparizione di ieri ma ero in pre-esame. per quanto riguarda:
In che modo?[/quote]
nel modo "usuale", ovvero matrice associata più sistema omogeneo. oppure come avete anche poi detto, estraggo la base dell'immagine, verifico che è suriettiva e di conseguenza poichè è un endomorfismo è anche iniettiva.
"Magma":
[quote="cooper"] io avrei estratto una base dal ker
In che modo?
[/quote]nel modo "usuale", ovvero matrice associata più sistema omogeneo. oppure come avete anche poi detto, estraggo la base dell'immagine, verifico che è suriettiva e di conseguenza poichè è un endomorfismo è anche iniettiva.
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