Esercizio endomorfismo

[lollolollo1]

$B = {v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, −1)} ∈ K3$

Se $T : K3 -> K3$ ´e la trasformazione lineare tale che $T(v1) = v3, T(v2) =
v2 e T(v3) = −v1$, calcolare $T(x, y, z)$.


per $T(x, y, z)$ intende la matrice associata all'endomorfismo?
grazie!

[Magma1]

Ti sta chiedendo l'espressione di un generico $T(v) in Im(f)$.

[lollolollo1]

niente
riuscirei a calcolarlo solo se la matrice andasse dalla base canonica alla base canonica
potreste aiutarmi?

[Bokonon]

"lollolollo":$B = {v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 1, 0), v3 = (0, 0, −1)} ∈ K3$

Se $T : K3 -> K3$ ´e la trasformazione lineare tale che $T(v1) = v3, T(v2) =
v2 e T(v3) = −v1$, calcolare $T(x, y, z)$.


per $T(x, y, z)$ intende la matrice associata all'endomorfismo?
grazie!

$T=BLambdaB^-1$

[Magma1]

"lollolollo":
riuscirei a calcolarlo solo se la matrice andasse dalla base canonica alla base canonica

In che modo? e perché non considerando una qualsiasi base?


Consideriamo a dominio la base

$mathcalB ={v_1,v_2,v_3}= { ((1),( −1), (0)), ((1), (1),( 0)), ((0),( 0),( −1))}$

mentre a codominio consideriamo la base canonica. Allora la matrice associata $M_(EB)(T)$ calcola le immagini dei vettori della base $mathcalB$, ne calcola le componenti rispetto alla base a codominio e le dispone in colonna; ovvero $M_(EB)(T)$ ha per colonna

$[T(v_i)]_E, qquad i=1,2,3 qquad $

e.g. considerando $v_3$ abbiamo

$T(((0),( 0),( −1)))=((-1),( 1), (0))$

per cui

$[T(((0),( 0), (-1)))]_E=[((-1),( 1), (0))]_E=((-1),(1),(0))$

Osserva che le componenti di in vettore rispetto a una generica base ${w_1,w_2,w_3}$ si ricavano determinando le incognite $alpha,beta,gamma in RR$ tali che

$alphaw_1+betaw_2+gammaw_3=v$

pertanto le componenti rispetto alla base canonica coincidono con le entrate del vettore medesimo:

$[v]_E=v, qquad AA v in V$

[lollolollo1]

"Magma":In che modo? e perché non considerando una qualsiasi base?

eh perchè se ho una matrice di un endomorfismo dalla base canonica alla base canonica mi basta considerare che ogni riga della matrice rappresenta una componete esempio

$((a1,b1,c1),(a2,b2,c2),(a3,b3,c3))$
allora $f(x,y,z) = (a1x+b1y+c1z,a2x+b2y+c2z,a3x+b3y+c3z)$

praticamente ho solo letto le righe e messo x accanto a tutti gli elementi della prima colonna y accanto a quelli della seconda e lo stesso per la terza