Esercizio endomorfismo

[mirko902]

Ciao a tutti, avrei qualche problemino con questo esercizio:

Sia T l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R^2}[/tex] dato da:

[tex]\mathit{T(x,y)=(ax+by,bx+cy)}[/tex] per ogni[tex]\mathit{(x,y)}\in \mathbb{R^2}[/tex]

Determinare per quali [tex]\mathit {a,b,c} \in \mathbb{R}[/tex] T è diagonalizzabile

Ora io sono partito a razzo con il polinomio caratteristico, ma come posso trovare i valori di lambda in funzione di a,b,c?
C'è un altra strada per risolvere l'eserczio, senza utilizzare il polinomio caratteristico che io non conosco?

Grazie!

[cooper1]

no devi calcolare il polinomio caratteristico. probabilmente le radici dipenderanno dal parametro ed in questo modo hai gli autovalori. poi procedi come sempre

[mirko902]

calcolando il polinomio caratterstico arrivo ad [tex]\mathit{(a-\lambda)(c-\lambda)-b^2=0}[/tex].

A questo punto non saprei proprio come muovermi, per determinare per quali a,b,c è diagonalizzabile. Risolvo il polinomio di secondo grado con la formula?

[Shocker1]

Puoi usare il teorema spettrale reale?

[mirko902]

si posso, ma non mi toccherebbe comunque calcolare gli autovalori?

[Shocker1]

"mirko902":si posso, ma non mi toccherebbe comunque calcolare gli autovalori?

Non necessariamente, calcolare gli autovalori è un lavoraccio anche perché dovresti discutere il segno del $\Delta$ e non è immediato in 3 variabili(senza ricorrere all'analisi).

La matrice associata all'endomorfismo rispetto alla base canonica di $\mathbb{R^2}$ è $M_C(f) = ( (a, b), (b, c) )$ che è simmetrica, quindi per il teorema spettrale è diagonalizzabile.

[mirko902]

quindi la soluzione sarebbe che T è diagonalizzabile per qualunque valore di a,b,c?

[Shocker1]

Sì

[mirko902]

ho capito, grazie mille!

[mirko902]

un altra domanda, mi sono imbattuto in un esercizio simile:

Sia T l'endomorfismo di [tex]\mathbb{R^2}[/tex] dato da [tex]\mathit{T(x,y)=(ax+by,cx+dy)\forall(x,y)\in\mathbb{R}}[/tex] dove [tex]\mathit{a,b,c,d\in\mathbb{R},ad-bc<0}[/tex].
T è diagonalizzabile?

Capisco che la condizione ad-bc<0, dovrebbe farmi pensare a qualcosa dalla teoria che mi permetta immediatamente di dire se T diagonalizzabile oppure no, però rileggendo i vari teoremi non riesco a trovare nulla, l'unica cosa che posso dire è che la matrice associata ha rango massimo... qualcuno ha un idea?

[Shocker1]

Calcolando il polinomio caratteristico della matrice associata a $T$ rispetto alla canonica si ha che $p(t) = t^2 -t(a+d) + ad - bc$, il delta di tale polinomio è: $\Delta = (a+d)^2 -4(ad-bc)$, dato che $(ad-bc) < 0$ allora $-4(ad-bc) > 0$, quindi il polinomio ammette due radici distinte e questo implica la diagonalizzabilità dell'endomorfismo(sai spiegare il perché?)

[mirko902]

allora essendo 2 le radici con molteplicità algebrica 1, la somma è 1+1=2, come il rango della matrice, quindi la prima condizione per la diagonalizzabilità è verificata.

non riesco però a procedere e trovare la molteplicità geometrica...

[Shocker1]

"mirko902":allora essendo 2 le radici con molteplicità algebrica 1, la somma è 1+1=2, come il rango della matrice, quindi la prima condizione per la diagonalizzabilità è verificata.

non riesco però a procedere e trovare la molteplicità geometrica...

Beh tieni conto che $1 <= \mu_g(\lambda) <= \mu_a(\lambda)$ con $\lambda$ autovalore, dunque se la molteplicità algebrica è $1$ anche quella geometrica sarà $1$.
Più in generale se il polinomio caratteristico si spezza linearmente(nel senso che ha solo fattori di grado $1$) allora l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Ancora più in generale: se il polinomio minimo dell'endomorfismo si spezza linearmente allora l'applicazione è diagonalizzabile.