Esercizio endomorfismi di uno spazio vettoriale
Ciao a tutti!! Volevo dei consigli per proseguire nello svolgimento di questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, e siano $f,g in End(V)$.
a)Mostrare che se $f+g$ è invertibile, allora esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$. Se inoltre esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $V=Ker f oplus Ker g= Im f oplus Im g$
b)Mostrare che se esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$ ed esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $f+g$ è invertibile
Supponiamo adesso che $f^2=g^2=0$ e che $f+g$ sia invertibile
c)Mostrare che $n$ è pari e che per ogni intero $k>0$, $rk(fg)^k=rk(gf)^k=n/2$
d)Mostrare che $f$ e $g$ sono coniugati e calcolarne la forma di Jordan. Mostrare che non esiste una base di $V$ che sia di Jordan per $f$ e per $g$
Io ho iniziato nel dimostrare che $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ (Da questo poi dovrebbe seguire la prima parte del punto a) dato che $f+g$ è invertibile)
Poi per la seconda parte ho osservato che: $dim Kerf + dim Im f=dim V$ e $dim Kerg + dim Im g=dim V$ da cui sommando le due: $dim Kerf + dim Ker g+ dim Im f + dim Im g=2n$. Poiché per ipotesi esistono le somme dirette, per la formula di Grassman posso scrivere: $dim(Ker f + Ker g)+ dim( Im f +Im g)=2n$
Da cui necessariamente : $n=dim(Ker f+ dim Ker g)= dim Ker f+ dim Ker g$ ; $n=dim(Im f+ Im g)=dim Im f + dim Im g$
Questo dovrebbe concludere il punto a) (???)
Per il secondo punto avevo pensato di cercare di dimostrare l'inclusione inversa di $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ sotto le ipotesi date...ma nessun risultato
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, e siano $f,g in End(V)$.
a)Mostrare che se $f+g$ è invertibile, allora esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$. Se inoltre esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $V=Ker f oplus Ker g= Im f oplus Im g$
b)Mostrare che se esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$ ed esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $f+g$ è invertibile
Supponiamo adesso che $f^2=g^2=0$ e che $f+g$ sia invertibile
c)Mostrare che $n$ è pari e che per ogni intero $k>0$, $rk(fg)^k=rk(gf)^k=n/2$
d)Mostrare che $f$ e $g$ sono coniugati e calcolarne la forma di Jordan. Mostrare che non esiste una base di $V$ che sia di Jordan per $f$ e per $g$
Io ho iniziato nel dimostrare che $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ (Da questo poi dovrebbe seguire la prima parte del punto a) dato che $f+g$ è invertibile)
Poi per la seconda parte ho osservato che: $dim Kerf + dim Im f=dim V$ e $dim Kerg + dim Im g=dim V$ da cui sommando le due: $dim Kerf + dim Ker g+ dim Im f + dim Im g=2n$. Poiché per ipotesi esistono le somme dirette, per la formula di Grassman posso scrivere: $dim(Ker f + Ker g)+ dim( Im f +Im g)=2n$
Da cui necessariamente : $n=dim(Ker f+ dim Ker g)= dim Ker f+ dim Ker g$ ; $n=dim(Im f+ Im g)=dim Im f + dim Im g$
Questo dovrebbe concludere il punto a) (???)
Per il secondo punto avevo pensato di cercare di dimostrare l'inclusione inversa di $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ sotto le ipotesi date...ma nessun risultato
Risposte
Giusto accidenti
Provare a mostrare l'iniettività per ogni k?
Provare a mostrare l'iniettività per ogni k?
Io direi di provare per induzione la tesi. Un hint utile: un elemento dell'immagine di $g$ si scrive come $w = g(v)$, con $v \in V$, il quale si decompone come somma diretta dell'immagine di $g$ e di quella di $f$, cioè esistono unici $z_1 \in Imf, z_2 \in Img$ tali che $v = z_1 + z_2$, dunque $g(v) = g(z_1) + g(z_2) = g(z_1)$, poiché $z_1 \in Imf$ allora esiste $v_1$ tale che $z_1 = f(v_1)$ e dunque $g(v) = (g\circ f)(v_1)$ and so on.
Ho una piccola domanda; quando abbiam detto che $gf$ è iniettiva, questo equivale a dimostrare che $Im f cap Ker g={0}$?
Sì
Ok grazie mille! Tra stasera e domani lo sistemo per bene 
Una sola cosa... per l'ultimo punto getto qualche idea cosi per ora
Per mostrare che sono coniugati avevo pensato invece che dare una dimostrazione( non ho avuto ancora una buona idea xD) di trovare proprio la $h$ tale che $f=h^-1gh$
Per Jordan invece mi verrebbe da dire che dato che $f^2=g^2=0$, allora esiste almeno un blocco di ordine 2 e che il numero dei blocchi è pari a $n/2$. Ho detto qualche castroneria?
Una sola cosa... per l'ultimo punto getto qualche idea cosi per ora
Per mostrare che sono coniugati avevo pensato invece che dare una dimostrazione( non ho avuto ancora una buona idea xD) di trovare proprio la $h$ tale che $f=h^-1gh$
Per Jordan invece mi verrebbe da dire che dato che $f^2=g^2=0$, allora esiste almeno un blocco di ordine 2 e che il numero dei blocchi è pari a $n/2$. Ho detto qualche castroneria?
Intanto sono triangolabili perché nilpotenti. Ora: quando due endomorfismo triangolabili sono coniugati? Quando hanno la stessa forma canonica di Jordan, cioè quando hanno la stessa stringa di invarianti per ogni autovalore.
Ok! Quindi trovo la forma di Jordan per f e per g e se hanno la stessa forma canonica allora sono coniugati. La matrice dovrebbe essere composto da $n/2$ blocchi di ordine 2 relativi all'autovalore 0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo