Esercizio endomorfismi di uno spazio vettoriale
Ciao a tutti!! Volevo dei consigli per proseguire nello svolgimento di questo esercizio:
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, e siano $f,g in End(V)$.
a)Mostrare che se $f+g$ è invertibile, allora esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$. Se inoltre esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $V=Ker f oplus Ker g= Im f oplus Im g$
b)Mostrare che se esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$ ed esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $f+g$ è invertibile
Supponiamo adesso che $f^2=g^2=0$ e che $f+g$ sia invertibile
c)Mostrare che $n$ è pari e che per ogni intero $k>0$, $rk(fg)^k=rk(gf)^k=n/2$
d)Mostrare che $f$ e $g$ sono coniugati e calcolarne la forma di Jordan. Mostrare che non esiste una base di $V$ che sia di Jordan per $f$ e per $g$
Io ho iniziato nel dimostrare che $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ (Da questo poi dovrebbe seguire la prima parte del punto a) dato che $f+g$ è invertibile)
Poi per la seconda parte ho osservato che: $dim Kerf + dim Im f=dim V$ e $dim Kerg + dim Im g=dim V$ da cui sommando le due: $dim Kerf + dim Ker g+ dim Im f + dim Im g=2n$. Poiché per ipotesi esistono le somme dirette, per la formula di Grassman posso scrivere: $dim(Ker f + Ker g)+ dim( Im f +Im g)=2n$
Da cui necessariamente : $n=dim(Ker f+ dim Ker g)= dim Ker f+ dim Ker g$ ; $n=dim(Im f+ Im g)=dim Im f + dim Im g$
Questo dovrebbe concludere il punto a) (???)
Per il secondo punto avevo pensato di cercare di dimostrare l'inclusione inversa di $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ sotto le ipotesi date...ma nessun risultato
"Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita $n$, e siano $f,g in End(V)$.
a)Mostrare che se $f+g$ è invertibile, allora esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$. Se inoltre esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $V=Ker f oplus Ker g= Im f oplus Im g$
b)Mostrare che se esiste la somma diretta tra $Ker f$ e $Ker g$ ed esiste la somma diretta tra $Im f$ e $Im g$, allora $f+g$ è invertibile
Supponiamo adesso che $f^2=g^2=0$ e che $f+g$ sia invertibile
c)Mostrare che $n$ è pari e che per ogni intero $k>0$, $rk(fg)^k=rk(gf)^k=n/2$
d)Mostrare che $f$ e $g$ sono coniugati e calcolarne la forma di Jordan. Mostrare che non esiste una base di $V$ che sia di Jordan per $f$ e per $g$
Io ho iniziato nel dimostrare che $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ (Da questo poi dovrebbe seguire la prima parte del punto a) dato che $f+g$ è invertibile)
Poi per la seconda parte ho osservato che: $dim Kerf + dim Im f=dim V$ e $dim Kerg + dim Im g=dim V$ da cui sommando le due: $dim Kerf + dim Ker g+ dim Im f + dim Im g=2n$. Poiché per ipotesi esistono le somme dirette, per la formula di Grassman posso scrivere: $dim(Ker f + Ker g)+ dim( Im f +Im g)=2n$
Da cui necessariamente : $n=dim(Ker f+ dim Ker g)= dim Ker f+ dim Ker g$ ; $n=dim(Im f+ Im g)=dim Im f + dim Im g$
Questo dovrebbe concludere il punto a) (???)
Per il secondo punto avevo pensato di cercare di dimostrare l'inclusione inversa di $Ker f cap Ker g subset Ker(f+g)$ sotto le ipotesi date...ma nessun risultato
Risposte
Ok per la somma diretta dei nuclei.
Non mi è chiaro invece perché $dimImf + dimImg = n$, potresti essere più esplicito?
Per il punto $b$: sia $ v \in Ker(f+g)$ allora $f(v) + g(v) = 0$, cioè $f(v) = -g(v)$, da cui...
Non mi è chiaro invece perché $dimImf + dimImg = n$, potresti essere più esplicito?
Per il punto $b$: sia $ v \in Ker(f+g)$ allora $f(v) + g(v) = 0$, cioè $f(v) = -g(v)$, da cui...
Segue dalla formula di Grassman e dal fatto che $Im f cap Im g={0}$ o sbaglio???
Per quanto riguarda il secondo potrei fare così: $f(v)=-g(v)$ il primo fattore appartiene all'immagine di f, il secondo a quella di g, quindi da questo segue che $f(v)=0 $e $g(v)=0$ (per la somma diretta delle immagini). Quindi $v in Ker f$ e $v in Ker g$, ma allora $v=0$ (per la somma diretta dei nuclei)
Per quanto riguarda il secondo potrei fare così: $f(v)=-g(v)$ il primo fattore appartiene all'immagine di f, il secondo a quella di g, quindi da questo segue che $f(v)=0 $e $g(v)=0$ (per la somma diretta delle immagini). Quindi $v in Ker f$ e $v in Ker g$, ma allora $v=0$ (per la somma diretta dei nuclei)
Ok ho capito: poiché devi ottenere $2n$ da una somma di due interi che sono vincolati ad essere $<= n$ allora necessariamente sono entrambi uguali $n$, le ipotesi le sfrutti per passare da $dimImf + dimImg$ a $dim(Imf + Img)$. Ok 
Io avrei osservato che $dim(Im(f+g)) = n$, poiché $V =
Im (f+g) \subset Imf + Img$ si ha $V = Imf \oplus Img$, per i nuclei si fa come hai fatto tu.
Ok per il secondo punto: nucleo banale più endomorfismo e spazio di di dimensione finita $=> f + g$ isomorfismo.
Io avrei osservato che $dim(Im(f+g)) = n$, poiché $V =
Im (f+g) \subset Imf + Img$ si ha $V = Imf \oplus Img$, per i nuclei si fa come hai fatto tu.
Ok per il secondo punto: nucleo banale più endomorfismo e spazio di di dimensione finita $=> f + g$ isomorfismo.
Si esatto. Dall'esistenza delle somme dirette ho: $dim Kerf + dim Ker g<=n$ e stessa cosa per le immagini.
Grazie per il "lancio" per il secondo punto
Ora cerco di pensare un po' al terzo...
Per ipotesi dovrei avere che esiste la somma diretta tra i nuclei dato che $f+g$ è invertibile. Da $f^2=g^2=0$ mi verrebbe da dire su due piedi che $Im f sub Ker f$ e $Im g sub Ker g$
Grazie per il "lancio" per il secondo punto
Ora cerco di pensare un po' al terzo...
Per ipotesi dovrei avere che esiste la somma diretta tra i nuclei dato che $f+g$ è invertibile. Da $f^2=g^2=0$ mi verrebbe da dire su due piedi che $Im f sub Ker f$ e $Im g sub Ker g$
Bene, dimostrare che $V$ ha dimensione pari equivale a dire che $dimV = 2k$, le ipotesi che hai sono $dimV = dimImf + dimKer(f)$, $dimImf <= dimKer(f)$ e $dimV = dimKer(f) + dimKer(g)$. Se dimostri che $dimKer(f) = dimKer(g)$ hai la tesi.
Dalle ipotesi che ho e dalle uguaglianze ho che: $dim Im f=dim Ker g$, quindi $dim Ker g<=dim Ker f$
Usando invece il teorema della dimensione per l'applicazione $g$ e $g^2=0$ dovrei ottenere la disuguaglianza opposta da cui la tesi (????)
Usando invece il teorema della dimensione per l'applicazione $g$ e $g^2=0$ dovrei ottenere la disuguaglianza opposta da cui la tesi (????)
Sì!
Una piccola domanda però...io ho l'esistenza della somma diretta dei nuclei per ipotesi. Questo dovrebbe implicarmi solo che l'intersezione tra essi è vuota e non anche $dim V=dim Ker g+ dim Ker f$. O sbaglio?
Per quanto riguarda il fatto del rango io andrei per induzione su k, concentrandomi intanto su k=1
Per quanto riguarda il fatto del rango io andrei per induzione su k, concentrandomi intanto su k=1
Hai ragion, ho letto male il primo punto. Ad ogni modo la cosa si aggiusta: l'ipotesi di invertibilità tanto su $f+g$ ti dice che $V = Imf + Img$, poi $Imf \subset Kerf$ e $Img \subset Kerg$ implica che $Imf nn Img \subset Kerf nn Kerg ={0}$. Per il primo punto allora hai che $V$ è somma diretta dei nuclei.
Ok prova per induzione e fammi sapere.
Ok prova per induzione e fammi sapere.
Provo a ragionare un po per il caso k=1
Considero $rk(gf)=rk(g_(|Imf))$. Ho quindi $g_(|Imf): Im f to V$
Ho per il teorema della dimensione: $rk f= rk(gf)+ dim Ker(g_(|Imf))$. Ora ho che $Ker g_(|Imf)=Im f cap Ker g$
E' la strada giusta?
Considero $rk(gf)=rk(g_(|Imf))$. Ho quindi $g_(|Imf): Im f to V$
Ho per il teorema della dimensione: $rk f= rk(gf)+ dim Ker(g_(|Imf))$. Ora ho che $Ker g_(|Imf)=Im f cap Ker g$
E' la strada giusta?
Può darsi. Intanto osserva che $g \circ f$ è iniettiva. Questo cosa implica?
Mmm che $dim Ker (gf)=0$, ma cosi avrei che $rk f=rk(gf)$
E dunque? Chi è $Im(g \circ f)$? È chiaro che $Im(g \circ f) \subset Img$...
Non potrei concludere osservando che $rk(gf)=rk f= dim V- dim Ker f=n-n/2=n/2$?
Uh, certo! 
Ora non so se l'induzione conviene però.
Un' idea potrebbe essere quella di mostrare che la successione dei nuclei/immagini si "stabilizza"?
Un' idea potrebbe essere quella di mostrare che la successione dei nuclei/immagini si "stabilizza"?
Mh, la successione indotta da $g \circ f$? Beh potresti provare, ma una volta dimostrato che si stabilizza(e si stabilizza necessariamente perché lo spazio è finitamente generato), cosa concludi?
Ma se fosse $Im(g \circ f) = Img$?
Ma se fosse $Im(g \circ f) = Img$?
Un'inclusione è ovvia, in più le dimensioni sono uguali quindi l'uguaglianza è vera.
Quindi ora mi sono ridotto a dimostrare che $rk(g)^k=n/2 AA k>0$
Quindi ora mi sono ridotto a dimostrare che $rk(g)^k=n/2 AA k>0$
Ma $g^2=0$, quindi da 2 in poi il rango dovrebbe essere uguale a 1
No, per $k = 2$ la tua tesi crolla. La speranza è $Im((g \circ f)^k) = Img$.
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