Esercizio endomorfismi
Nello spazio vettoriale $R^4$ è dato il seguente endomorfismo:
$f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (−2x_1 + 2x_2 + x_4, −x_1 + x_2 − x_3 + x_4, 0, 2x_3 − x_4)$.
Determinare$ f^-1(1, 0, 0, 1)$
Ho trovato la matrice associata e mi è venuta:
$((-2,2,0,1),(-1,1,-1,1),(0,0,0,0),(0,0,2,-1))$
Per svolgere l esercizio non so proprio da dove partire. Per intuito credo che si debba risolvere il sistema formato dalla matrice e dal vettore proposto nell'esercizio. giusto??? ma poi???
Aiutatemi è esercizio d'esame!!!!
$f(x_1, x_2, x_3, x_4) = (−2x_1 + 2x_2 + x_4, −x_1 + x_2 − x_3 + x_4, 0, 2x_3 − x_4)$.
Determinare$ f^-1(1, 0, 0, 1)$
Ho trovato la matrice associata e mi è venuta:
$((-2,2,0,1),(-1,1,-1,1),(0,0,0,0),(0,0,2,-1))$
Per svolgere l esercizio non so proprio da dove partire. Per intuito credo che si debba risolvere il sistema formato dalla matrice e dal vettore proposto nell'esercizio. giusto??? ma poi???
Aiutatemi è esercizio d'esame!!!!
Risposte
"lepre561":
ma poi???
Poi usi la forza bruta e fai i calcoli!
Se la matrice è non singolare:
$v_1:=f(e_1)=(-2,-1,0,0)$
$...$
$v_4:=f(e_4)=..$
Ora scrivi $u=(1,0,0,1)$ come combinazione lineare di $v_1,...,v_4$.
Dopo averlo fatto, otterrai qualcosa del tipo $u=lambda_1v_1+...+lambda_4v_4$
Allora $f^-1(u)=(lambda_1,...,lambda_4)$
$v_1:=f(e_1)=(-2,-1,0,0)$
$...$
$v_4:=f(e_4)=..$
Ora scrivi $u=(1,0,0,1)$ come combinazione lineare di $v_1,...,v_4$.
Dopo averlo fatto, otterrai qualcosa del tipo $u=lambda_1v_1+...+lambda_4v_4$
Allora $f^-1(u)=(lambda_1,...,lambda_4)$
"Ernesto01":
Se la matrice è non singolare:
$v_1:=f(e_1)=(-2,-1,0,0)$
$...$
$v_4:=f(e_4)=..$
Ora scrivi $u=(1,0,0,1)$ come combinazione lineare di $v_1,...,v_4$.
Dopo averlo fatto, otterrai qualcosa del tipo $u=lambda_1v_1+...+lambda_4v_4$
Allora $f^-1(u)=(lambda_1,...,lambda_4)$
Provo a risolverlo ma c'è qualcosa che non mi convince...
$\{(-2x_1+2x_2+x_4=1),(-x_1+x_2-x_3+x_4=0),(2x_3-x_4=0):}$
$\{(-2x_1+2x_2+x_4=1),(x_2=x_1-x_3),(x_4=2x_3):}$
$\{(-2x_1+2x_1-2x_3+2x_4=1),(x_2=x_1-x_3),(x_4=2x_3):}$
Analizzando risulta impossibile $0=1$
dove sbaglio?????
Scusami,ma come fanno a venirti tre equazioni?
"seragno":
Scusami,ma come fanno a venirti tre equazioni?
perchè la terza viene 0=0
Il sistema infatti non ammette soluzione (teorema di Rouché-Capelli), in quanto si ha che la matrice incompleta associata al sistema, completata la riduzione con Gauss, ha rango 2, mentre quella completa ha rango 3:
\(\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Potevi giungere ad analoga considerazione notando che la matrice associata, avendo una riga completamente nulla, ha certamente determinante 0, per cui non è invertibile.
\(\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Potevi giungere ad analoga considerazione notando che la matrice associata, avendo una riga completamente nulla, ha certamente determinante 0, per cui non è invertibile.
"iTz_Ovah":
Il sistema infatti non ammette soluzione (teorema di Rouché-Capelli), in quanto si ha che la matrice incompleta associata al sistema, completata la riduzione con Gauss, ha rango 2, mentre quella completa ha rango 3:
\(\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Potevi giungere ad analoga considerazione notando che la matrice associata, avendo una riga completamente nulla, ha certamente determinante 0, per cui non è invertibile.
Quindi in questi casi nel compito dovrei scrivere l'endomorfismo non è invertibile???
"lepre561":
Quindi in questi casi nel compito dovrei scrivere l'endomorfismo non è invertibile???
Se dovessi scriverlo in un compito d'esame darei la seguente risposta.
Individuiamo una base per l'immagine, effettuando il processo di riduzione di Gauss:
\(\left[\begin{array}{cccc}
-2 & 2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
\end{array}\right]\)
Scambiando la prima riga con la seconda e la terza con la quarta si ottiene la seguente matrice equivalente:
\(\left[\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & -1 & 1 \\
-2 & 2 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]\)
Aggiungendo alla seconda riga -2 volte la prima si ottiene la seguente:
\(\left[\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]\)
Sottraendo alla terza riga la seconda:
\(\left[\begin{array}{cccc}
-1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]\)
Poiché la seconda e la quarta colonna non contribuiscono al calcolo del rango (non contengono alcun pivot), sono linearmente dipendenti dalle due che restano, cioè la prima e la terza. Una base dell'immagine è data dunque dalla prima e dalla terza colonna. \(\{(-2,-1,0,0), (0, -1, 2, 0)\}\)
Verifichiamo se il vettore cercato appartiene all'immagine:
\(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 1\\
-1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Scambiando la prima riga con la seconda:
\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 0 \\
-2 & 0 & 1\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Aggiungendo alla seconda -2 volte la prima otteniamo:
\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 1\\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}\right]\)
Dove la seconda riga si ottiene come -2 volte la terza + la quarta. È allora loro combinazione lineare, e la si può "eliminare".
\(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0\\
\end{array}\right]\)
Le righe restanti sono linearmente indipendenti. Pertanto il rango di questa matrice è 3, e i vettori \(\{(-2,-1,0,0), (0, -1, 2, 0), (1,0,0,1)\}\) sono allora linearmente indipendenti. Ciò si traduce nel fatto che \((1, 0, 0, 1)\) non si può scrivere come combinazione lineare degli elementi di una base dell'immagine, vale a dire, non vi appartiene. Constatato ciò, si materializza l'impossibilità nel procedere nel calcolo di una controimmagine.
Non è immediato che se l'endomorfismo non è invertibile allora non puoi calcolare la controimmagine. Se infatti il vettore fosse stato combinazione lineare dei vettori nella base dell'immagine, saresti stato in grado di portare a termine l'esercizio.
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