Esercizio distanza punto-retta
Calcolare la distanza da un punto P(0,1,-2) della retta r che ha le seguenti equazioni:
(il seguente è un sistema):
x=t
y=1+t
z=-t
Ho provato a seguire questa strada (sbagliata):
Ricavo r dalle equazioni, ottenendo: x+z=y-1+z=0 e trovo il fascio di piani a sostegno della retta r così trovata.
x+z+k(y-1+z)=0
Dall'equazione qui sopra, metto in evidenza i parametri direttori, che indicano i vettori perpendicolari a ciascun piano del fascio: (1,k,k+1).
Allora impogo che la retta con i suddetti parametri direttori, perpendicolare a uno dei piani su cui giace r, passi per P.
(il seguente è un sistema):
x=0+1
y=1+k
z=-2+k+1
Esplicitando ciascuna equazione del sistema di cui sopra rispetto a k, ottengo la seguente equazione: y-1=z+1, quindi y-z-2=0
Mi sono fermato qui
(il seguente è un sistema):
x=t
y=1+t
z=-t
Ho provato a seguire questa strada (sbagliata):
Ricavo r dalle equazioni, ottenendo: x+z=y-1+z=0 e trovo il fascio di piani a sostegno della retta r così trovata.
x+z+k(y-1+z)=0
Dall'equazione qui sopra, metto in evidenza i parametri direttori, che indicano i vettori perpendicolari a ciascun piano del fascio: (1,k,k+1).
Allora impogo che la retta con i suddetti parametri direttori, perpendicolare a uno dei piani su cui giace r, passi per P.
(il seguente è un sistema):
x=0+1
y=1+k
z=-2+k+1
Esplicitando ciascuna equazione del sistema di cui sopra rispetto a k, ottengo la seguente equazione: y-1=z+1, quindi y-z-2=0
Mi sono fermato qui
Risposte
In generale, si definisce distanza fra due insiemi la più piccola delle distanze che si può formare prendendo un punto nel primo insieme e un punto nel secondo. Il modo più elegante di risolvere questo esercizio, è determinare la distanza del punto fisso da un generico punto della retta con la formula.
Dopo avere ottenuto la distanza in funzione di t trovane il minimo.
Dopo avere ottenuto la distanza in funzione di t trovane il minimo.
@speculor: puoi farmelo vedere più chiaramente, con passaggi? Anche perché non sono sicuro su come usare la "formula", con la retta scritta in questo modo.
La distanza tra due punti: (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2
La generalizzazione in tre dimensioni della formula delle superiori.
Le coordinate di un punto sono fisse, quelle del punto sulla retta variano con t con le tue equazioni parametriche.
Poi deriva e trova il minimo.
La generalizzazione in tre dimensioni della formula delle superiori.
Le coordinate di un punto sono fisse, quelle del punto sulla retta variano con t con le tue equazioni parametriche.
Poi deriva e trova il minimo.
per calcolare la distanza punto-retta usero la formula: $d(P,r)=(||PR^^r||)/(||r||)$
$R$ è un punto della retta r (per comodita scelgo il punto $R(0,1,0)$)
$PR$ è il vettore dei parametri direttori della retta PR
$r$ i parametri direttori della retta $r$
$PR=[0,0,2]$
$r[1,1,-1] => ||r||=sqrt(1^2+1^2+1^2)=sqrt(3)$
quindi $PR^^r=[2,-2,0] => ||PR^^r||=sqrt(8)$
quindi sostituendo nella formula si ottiene: $d(P,r)=(||PR^^r||)/(||r||)=sqrt(8)/sqrt(3)$
$R$ è un punto della retta r (per comodita scelgo il punto $R(0,1,0)$)
$PR$ è il vettore dei parametri direttori della retta PR
$r$ i parametri direttori della retta $r$
$PR=[0,0,2]$
$r[1,1,-1] => ||r||=sqrt(1^2+1^2+1^2)=sqrt(3)$
quindi $PR^^r=[2,-2,0] => ||PR^^r||=sqrt(8)$
quindi sostituendo nella formula si ottiene: $d(P,r)=(||PR^^r||)/(||r||)=sqrt(8)/sqrt(3)$
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