Esercizio Diagonalizzazione[RISOLTO]

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Una matrice $M$ tale che $M^-1 * {: ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) :} * M$ sia diagonALE .
Qualcuno può darmi un incipit?

[Paolo902]

"edge":Una matrice $M$ tale che $M^-1 * {: ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) :} * M$ sia diagonalizzabile .
Qualcuno può darmi un incipit?

Ciao

Per cortesia, sistema le formule che non si capisce benissimo. Sei sicuro/a del testo riportato?

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[Paolo902]

Ti faccio notare che il testo è ben diverso da quello da te riportato.
In ogni caso, io diagonalizzerei la matrice (sicuramente si può diagonalizzarla: perchè?) e poi scriverei una base di autovettori. La matrice del cambiamento di base tra la base vecchia e quella nuova (di autovettori) è la matrice cercata.

[edge1]

Allora la matrice è sicuramente diagonalizzabile perchè è simmetrica.(Teor.Spettrale).
Con un calcolo veloce vengono gli autovalori: $1$ $-1$ dunque la matrice stessa diagonalizzata avrà questi elementi sulla diagonale,poi se scrivo la base associata agli autovettori ottengo subito il risultato,è un caso?

[Paolo902]

"edge":Allora la matrice è sicuramente diagonalizzabile perchè è simmetrica.(Teor.Spettrale).
Con un calcolo veloce vengono gli autovalori: $1$ $-1$ dunque la matrice stessa diagonalizzata avrà questi elementi sulla diagonale,poi se scrivo la base associata agli autovettori ottengo subito il risultato,è un caso?

Sì, esatto.

E comunque, no, non è un caso: è così che si fa, di solito.

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Ti ringrazio.

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Paolo ma sai darmi una spiegazione teorica del procedimento?

[Paolo902]

"edge":Paolo ma sai darmi una spiegazione teorica del procedimento?

Non è una cosa immediata, però ci provo. Guarda. Tu hai una matrice $A$, quadrata di ordine $n$ e supponi di sapere a priori che sia diagonalizzabile (ad esempio, è simmetrica); $A$ è associata a un endomorfismo $f$ di uno spazio vettoriale.

Il problema della diagonalizzazione si può porre ad esempio in questo modo: tu vuoi trovare una base dello spazio in modo tale che la matrice associata a $f$ rispetto a tale base sia diagonale (è comodo avere matrici diagonali: si comportano un po' come i vettori, se ci pensi).

Quindi, in altre parole, tu vuoi cambiare base nello spazio per ottenere una matrice diagonale. D'altra parte, però, si fa vedere (è un conto) che se $A$ è associata a $f$ rispetto a una base, allora tutte e sole le matrici associate all'endomorfismo sono del tipo $P^-1AP$ (sono cioè simili a $A$), con $P$ matrice del cambiamento di base.

Mi spiego meglio: tu hai $A$ associata a $f$. Vuoi cambiare base in $V$: come cambia $A$? In questo modo: $P^-1AP$, dove $P$ è la matrice del cambiamento di base. Hai capito?

Quindi, tornando alla diagonalizzazione, il problema a questo punto può essere riformulato in questo modo: tu vuoi scrivere una matrice simile a quella data, che sia diagonale.

L'idea è quella di notare che, se prendi una base di autovettori, allora la matrice associata a $f$ (rispetto alla base di autovettori) è diagonale.
Perchè questo? Be', proprio per definizione stessa di autovettore ($f(x)=lambdax$) e perchè la matrice associata a un endomorfismo si costruisce mettendo in colonna le immagini dei vettori della base.

L'argomento è certo molto vasto e non si può esaurire in poche righe. Il punto centrale, però, è proprio questo. Se l'hai capito allora hai anche capito che la matrice diagonale che trovi ha sulla diagonale gli autovalori (ciascuno contato con la sua molteplicità) e che, detta $D$ tale matrice diagonale, essa è legata ad $A$ in questo modo: $D=P^-1AP$.
E prova un po' a indovinare chi è $P$: è la matrice del cambiamento di base (sai come si costruisce una matrice del genere? Si mettono in colonna le componenti degli autovettori rispetto alla vecchia base).

Comincia ad arrivare fin qui: medita bene, poi se vuoi ne riparliamo.

Spero sia abbastanza chiaro. Se hai dubbi sono a disposizione.