Esercizio diagonalizzazione di forma bilineare - Aiuto!
Buongiorno a tutti,
sono nuovo nel forum e spero in un vostro aiuto.
Sono uno studente iscritto al primo anno di Ingegneria Chimica e giovedì devo sostenere l’esame di Geometria e Algebra. Mi sento abbastanza preparato su tutto il programma, ma c’è un esercizio che era presente allo scorso appello e che proprio non riesco a capire e chiedo se qualcuno mi può aiutare a risolverlo, in particolare i punti (ii) e (iii).
Questo l'esercizio, scusate ma non sono stato capace qui di scrivere la matrice, magari con l'esperienza migliorerò
:
Sia g la forma bilineare simmetrica su V=R^4 la cui matrice G, rispetto alla base canonica, è
G =
(2 -2 0 1)
(-2 5 0 2)
(0 0 3 -1)
(1 2 -1 4)
(i) si dimostri che g è non degenere
(ii) si trovi una base di V ortogonale rispetto a g
(iii) si diagonalizzi g, ovvero si trovi una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tali che la trasposta di P x G x P = D
Io faccio così: cerco gli autovalori della matrice G che poi uso per trovare una base che una volta resa ortonormale mi dovrebbe permettere di concludere l’esercizio, ma cercando gli autovalori tramite il polinomio caratteristico mi viene questa equazione da cui non riesco a ricavare gli autovalori:
(3-x)[(x-9)-4(3-x)]-(x-1)(x-6)[1-(4-x)(3-x)]=
=x4-14x3+61x2-83x+3
Non capisco se il procedimento sia giusto e sia io a non essere capace di trovare gli autovalori, se ci sia un altro modo più semplice per trovare gli autovalori di questa matrice o se sia proprio sbagliato il procedimento che ho usato e sono quindi completamente fuori strada.
Grazie a chiunque potrà aiutarmi, ormai non so più dove sbattere la testa!
sono nuovo nel forum e spero in un vostro aiuto.
Sono uno studente iscritto al primo anno di Ingegneria Chimica e giovedì devo sostenere l’esame di Geometria e Algebra. Mi sento abbastanza preparato su tutto il programma, ma c’è un esercizio che era presente allo scorso appello e che proprio non riesco a capire e chiedo se qualcuno mi può aiutare a risolverlo, in particolare i punti (ii) e (iii).
Questo l'esercizio, scusate ma non sono stato capace qui di scrivere la matrice, magari con l'esperienza migliorerò
:Sia g la forma bilineare simmetrica su V=R^4 la cui matrice G, rispetto alla base canonica, è
G =
(2 -2 0 1)
(-2 5 0 2)
(0 0 3 -1)
(1 2 -1 4)
(i) si dimostri che g è non degenere
(ii) si trovi una base di V ortogonale rispetto a g
(iii) si diagonalizzi g, ovvero si trovi una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tali che la trasposta di P x G x P = D
Io faccio così: cerco gli autovalori della matrice G che poi uso per trovare una base che una volta resa ortonormale mi dovrebbe permettere di concludere l’esercizio, ma cercando gli autovalori tramite il polinomio caratteristico mi viene questa equazione da cui non riesco a ricavare gli autovalori:
(3-x)[(x-9)-4(3-x)]-(x-1)(x-6)[1-(4-x)(3-x)]=
=x4-14x3+61x2-83x+3
Non capisco se il procedimento sia giusto e sia io a non essere capace di trovare gli autovalori, se ci sia un altro modo più semplice per trovare gli autovalori di questa matrice o se sia proprio sbagliato il procedimento che ho usato e sono quindi completamente fuori strada.
Grazie a chiunque potrà aiutarmi, ormai non so più dove sbattere la testa!
Risposte
CIa0, benvenuto!
Sicuro che sia tutto corretto? Perché secondo un calcolatore on-line escono fuori delle soluzioni improponibili!
Sicuro che sia tutto corretto? Perché secondo un calcolatore on-line escono fuori delle soluzioni improponibili!
"j18eos":
CIa0, benvenuto!
Sicuro che sia tutto corretto? Perché secondo un calcolatore on-line escono fuori delle soluzioni improponibili!
Ciao, innanzitutto grazie per la risposta!
Intendi che il ragionamento è sbagliato e quindi questo tipo di esercizio non si svolge prendendo una base dagli autovalori? Devo usare un altro metodo per ricavare la base ortogonale?
Suggerimenti? Perché io no so che altro fare...
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No, l'idea è giusta;
solo che non è fattibile in questo caso, sempreché tu abbia inserito le entrate giuste nella matrice.
Non conosci altri criteri per determinare i prodotti scalari a partire da una matrice data?
solo che non è fattibile in questo caso, sempreché tu abbia inserito le entrate giuste nella matrice.
Non conosci altri criteri per determinare i prodotti scalari a partire da una matrice data?
"j18eos":
No, l'idea è giusta;
solo che non è fattibile in questo caso, sempreché tu abbia inserito le entrate giuste nella matrice.
Non conosci altri criteri per determinare i prodotti scalari a partire da una matrice data?
Ho visto un altro metodo condiviso da un compagno di corso che ha preso come base di g la base canonica formata dai vettori e1, e2, e3, e4 e poi ha usato Gramm-Schimdt, trovando così la base ortogonale che forma la matrice P, ma onestamente non ho capito perché ha scelto quella base.
Per quanto riguarda gli autovalori, avevo provato a calcolare la dimensione del nucleo di g, trovando così il numero di autovalori uguali a 0, dove almeno un altro degli autovalori era uguale alla traccia di G, però questa matrice è non degenere, quindi la dimensione del nucleo è 0 e alla fine non mi dice niente perché so soltanto che ci sono 4 autovalori diversi da 0 e non so come ricavarli.
Altre cose non mi vengono in mente...
Bene: riesci a dimostrare che la forma è non degenere; più facilmente basta calcolare il determinante.
Gram-Schmidt funziona solo coi prodotti scalari: mai sentito del criterio dei minori principali?
Gram-Schmidt funziona solo coi prodotti scalari: mai sentito del criterio dei minori principali?
"j18eos":
Bene: riesci a dimostrare che la forma è non degenere; più facilmente basta calcolare il determinante.
Gram-Schmidt funziona solo coi prodotti scalari: mai sentito del criterio dei minori principali?
Lo conosco, ma non ho pensato di applicarlo all'esercizio... provo a rifletterci!
Grazie mille per le dritte!!!
"Mattia H.":
(i) si dimostri che g è non degenere
E qua basta mostrare che $dim[Ker(G)]=0$ e puoi farlo come più ti aggrada
"Mattia H.":
(ii) si trovi una base di V ortogonale rispetto a g
Non hai fatto questo passaggio. Puoi usare G-S rispetto al prodotto scalare G e ottenere, per esempio, la base ortogonale $B={b_1=(1,0,0,0), b_2=(1,1,0,0), b_3=(3,2,0,-2), b_4=(3,2,-1,-2)}$
Potrai sincerarti che $b_i^TGb_j=b_j^TGb_i=(0,0,0,0)$ per ogni $i!=j$
E anche che $b_1^TGb_1=2$, $b_2^TGb_2=3$, $b_3^TGb_3=2$ e infine $b_4^TGb_4=1$
Questo ci dice che G è una matrice definita positiva.
"Mattia H.":
(iii) si diagonalizzi g, ovvero si trovi una matrice diagonale D e una matrice invertibile P tali che la trasposta di P x G x P = D
Qui ti sta chiedendo di trovare una matrice P tale che $PGP^T=D$, ovvero una matrice diagonale che sia congruente a G. In generale, non confondere congruente con simile, la cui definizione generica è $A=SBS^(-1)$ ovvero le matrici A e B sono la stessa matrice a meno di un cambio di base ed hanno i medesimi autovalori. Due matrici congruenti invece possono avere autovalori diversi ma la medesima forma di Sylvester.
Ora tu dirai Tutto molto bello, ma, se diagonalizzo una matrice simmetrica, per il Teorema Spettrale ottengo che $G=QDQ^(-1)=QDQ^T$ quindi se trovo la matrice diagonale degli autovalori è anch'essa congruente a G!.
Verissimo e magari anche fattibile in molti esercizi...ma non in questo. Questa strategia ci porta a calcoli assurdi (come hai potuto constatare). Non per forza siamo interessati a determinare un cambio di base ortonormale (una rotazione pura) e gli autovalori per trovare una matrice diagonale congruente.
A tutti gli effetti, abbiamo già risolto il problema, perchè le righe della nostra matrice P non sono altro che i vettori della base B. E se fai $PGP^T=D=( ( 2 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) ) $
La cosa non deve sorprendere, perchè come da risposta alla seconda domanda, quella base normale rispetto al prodotto scalare G, annullerà tutte entry all'esterno della diagonale di G e sulla diagonale resteranno le norme dei vettori della base rispetto appunto a G.
Notare che questa D non contiene gli autovalori di G ma è comunque congruente ad una matrice identità (se ragioniamo in forma di Sylvester). I valori sulla diagonale di D cambiano a seconda della base ortogonale scelta ma saranno sempre tutti positivi. Se poi uno per "sbaglio" trova non solo una base ortogonale qualsiasi ma LA base ortonormale degli autovettori allora vedrà comparire sulla diagonale di D gli autovalori di G.
Grazie per aver puntualizzato la differenza tra matrici simmetriche e matrici congruenti: in questo contesto è facile imbrogliarsi! 
Stamattina ho dato l'esame, purtroppo non ho avuto tempo di collegarmi e quindi vedo solo ora la risposta di Bokonon, che ringrazio per la spiegazione chiara e dettagliata.
Non so ancora com'è andata, ma non sono molto ottimista...
Nel caso sia andato male (ma anche se è andato bene), terrò a mente tutti i vostri consigli, che sicuramente mi torneranno utili.
Per ora grazie veramente a tutti e due per il tempo che mi avete dedicato
Non so ancora com'è andata, ma non sono molto ottimista...
Nel caso sia andato male (ma anche se è andato bene), terrò a mente tutti i vostri consigli, che sicuramente mi torneranno utili.
Per ora grazie veramente a tutti e due per il tempo che mi avete dedicato
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