Esercizio Diagonalizzazione
Salve sto cercando di fare vari esercizi del genere ma mi blocco sempre sul finale, mentre cerco la molteplicità geometrica degli autovalori non riesco a proseguire. Se qualcuno riuscisse a fare un procedimento completo così da capire se faccio bene anche l'inizio.
Un grande grazie in anticipo
Un grande grazie in anticipo
Risposte
Posta il tuo tentativo fino al punto in cui ti blocchi.
Indizio: supponendo che questa matrice rappresenti un endomorfismo di \(\displaystyle\mathbb{R}^4\) rispetto alla base canonica \(\displaystyle\left\{\underline{e}_1,\dotsc,\underline{e}_4\right\}\), allora \(\displaystyle\underline{e}_4\) è un autovettore di autovalore \(\displaystyle\lambda\).
Calcoliamo anzitutto il polinomio caratteristico della matrice, che chiamo $M$: $p_M(t) = \det(M-tI) =$
$\det$\begin{pmatrix} 1-t & 0 &-1&0\\ \lambda & 1-t & 0 & 0 \\ \lambda^2 + 2 &0 & 1-t &0 \\ 0 &\lambda &\lambda & \lambda-t \end{pmatrix}
Sviluppiamo lungo l'ultima colonna (che ha tre zeri) ottenendo:
$(\lambda -t) \det(M_(44)) $, dove $M_(44)$ è la matrice ottenuta eliminando l'ultima riga e l'ultima colonna, cioè
\begin{pmatrix} 1-t & 0 &-1\\ \lambda & 1-t & 0 \\ \lambda^2 + 2 &0 & 1-t \end{pmatrix}[hide="."]Dunque sviluppando $M_(44)$ lungo la seconda colonna, alla fine si ottiene che:
$p_M(t) = (\lambda-t)(1-t)[(1-t)^2-(\lambda^2 + 2)]$, ovvero
$p_M(t) = (\lambda-t)(1-t)(t^2-2t-\lambda^2-1)$
Dunque gli autovalori sono: $t_1 = \lambda, t_2=1, t_3= 1 + \sqrt(\lambda^2 + 2), t_4 =1 - \sqrt(\lambda^2 + 2)$
Controlliamo anzitutto quando è che esistono due autovalori coincidenti (ovvero con molteplicità algebrica 2)
- se $\lambda = 1$, allora $t_1 = t_2$, per cui l'autovalore $t=1$ ha molteplicità algebrica 2
- per nessun lambda si ha che $t_2=t_3$, $t_2=t_4$ o $t_3 = t_4$
- $t_1 = t_3$ mai
- $t_1 = t_4$ se $\lambda = -1/2$, in quel caso l'autovalore $t = -1/2$ ha molteplicità algebrica 2
Dunque se $\lambda \ne 1, -1/2$ ho 4 autovalori distinti, tutti con molteplicità algebrica 1.
Ricordiamo che per ogni autovalore $t$, si ha sempre che $1 <= mg(t) <= ma(t)$, per cui nel caso in cui ho tutti autovalori distinti con $ma=1$, anche $mg=1$ e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Resta da vedere cosa succede nei casi $\lambda = 1 $ e $ \lambda = -1/2$.
- caso $\lambda =1$
in questo caso abbiamo gli autovalori $t_1=1, t_(3,4)=1 \pm \sqrt(3)$, con $ma(t_1) = 2$ e molteplicità algebrica degli altri due autovalori pari ad 1.
Per quanto detto prima, $mg(t_3) = mg(t_4) = 1$, quindi in realtà per verificarne la diagonalizzabilità devo vedere se $mg(t_1) = 2 =ma(t_1).$
Per $\lambda =1$, calcolo la dimensione del $\Ker(M-t_1 I)$, ovvero la dimensione del nucleo della matrice:
\begin{pmatrix} 0 & 0 &-1&0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 &0 & 0 &0 \\ 0 &1 &1 &0 \end{pmatrix}
Si vede facilmente che ha rango 3, per cui il nucleo ha dimensione 1, dunque $mg(t_1) = 1$ e quindi la matrice per $\lambda = 1$ non è diagonalizzabile.
- caso $\lambda = -1/2$.
In tal caso ho gli autovalori $t_1= -1/2, t_2=1, t_3=5/2$ dove $ma(t_1)=2$ e gli altri autovalori hanno molteplicità geometrica 1, dunque basta controllare $mg(t_1)$, ovvero la dimensione del $\Ker$ della matrice:
\begin{pmatrix} 3/2 & 0 &-1&0\\ -1/2 & 3/2 & 0 & 0 \\ 9/4 &0 & 3/2 &0 \\ 0 &-1/2 &-1/2 &0 \end{pmatrix}
ed anche lei ha rango 3, dunque $mg(-1/2) = 1$ e quindi niente diagonalizzabilità
(controlla per bene che abbia fatto tutti i conti giusti)[/hide]
$\det$\begin{pmatrix} 1-t & 0 &-1&0\\ \lambda & 1-t & 0 & 0 \\ \lambda^2 + 2 &0 & 1-t &0 \\ 0 &\lambda &\lambda & \lambda-t \end{pmatrix}
Sviluppiamo lungo l'ultima colonna (che ha tre zeri) ottenendo:
$(\lambda -t) \det(M_(44)) $, dove $M_(44)$ è la matrice ottenuta eliminando l'ultima riga e l'ultima colonna, cioè
\begin{pmatrix} 1-t & 0 &-1\\ \lambda & 1-t & 0 \\ \lambda^2 + 2 &0 & 1-t \end{pmatrix}[hide="."]Dunque sviluppando $M_(44)$ lungo la seconda colonna, alla fine si ottiene che:
$p_M(t) = (\lambda-t)(1-t)[(1-t)^2-(\lambda^2 + 2)]$, ovvero
$p_M(t) = (\lambda-t)(1-t)(t^2-2t-\lambda^2-1)$
Dunque gli autovalori sono: $t_1 = \lambda, t_2=1, t_3= 1 + \sqrt(\lambda^2 + 2), t_4 =1 - \sqrt(\lambda^2 + 2)$
Controlliamo anzitutto quando è che esistono due autovalori coincidenti (ovvero con molteplicità algebrica 2)
- se $\lambda = 1$, allora $t_1 = t_2$, per cui l'autovalore $t=1$ ha molteplicità algebrica 2
- per nessun lambda si ha che $t_2=t_3$, $t_2=t_4$ o $t_3 = t_4$
- $t_1 = t_3$ mai
- $t_1 = t_4$ se $\lambda = -1/2$, in quel caso l'autovalore $t = -1/2$ ha molteplicità algebrica 2
Dunque se $\lambda \ne 1, -1/2$ ho 4 autovalori distinti, tutti con molteplicità algebrica 1.
Ricordiamo che per ogni autovalore $t$, si ha sempre che $1 <= mg(t) <= ma(t)$, per cui nel caso in cui ho tutti autovalori distinti con $ma=1$, anche $mg=1$ e quindi la matrice è diagonalizzabile.
Resta da vedere cosa succede nei casi $\lambda = 1 $ e $ \lambda = -1/2$.
- caso $\lambda =1$
in questo caso abbiamo gli autovalori $t_1=1, t_(3,4)=1 \pm \sqrt(3)$, con $ma(t_1) = 2$ e molteplicità algebrica degli altri due autovalori pari ad 1.
Per quanto detto prima, $mg(t_3) = mg(t_4) = 1$, quindi in realtà per verificarne la diagonalizzabilità devo vedere se $mg(t_1) = 2 =ma(t_1).$
Per $\lambda =1$, calcolo la dimensione del $\Ker(M-t_1 I)$, ovvero la dimensione del nucleo della matrice:
\begin{pmatrix} 0 & 0 &-1&0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 &0 & 0 &0 \\ 0 &1 &1 &0 \end{pmatrix}
Si vede facilmente che ha rango 3, per cui il nucleo ha dimensione 1, dunque $mg(t_1) = 1$ e quindi la matrice per $\lambda = 1$ non è diagonalizzabile.
- caso $\lambda = -1/2$.
In tal caso ho gli autovalori $t_1= -1/2, t_2=1, t_3=5/2$ dove $ma(t_1)=2$ e gli altri autovalori hanno molteplicità geometrica 1, dunque basta controllare $mg(t_1)$, ovvero la dimensione del $\Ker$ della matrice:
\begin{pmatrix} 3/2 & 0 &-1&0\\ -1/2 & 3/2 & 0 & 0 \\ 9/4 &0 & 3/2 &0 \\ 0 &-1/2 &-1/2 &0 \end{pmatrix}
ed anche lei ha rango 3, dunque $mg(-1/2) = 1$ e quindi niente diagonalizzabilità
(controlla per bene che abbia fatto tutti i conti giusti)[/hide]
Scusate l'attesa, in questi giorni ho provato a farli diverse volte e sono riuscito ad arrivare a questo
...potresti scrivere le formule anziché pubblicare le immagini? Ne vale per la miglior lettura del post anche nei tempi che verranno!
Inoltre, sbagli il calcolo del polinomio caratteristico al secondo passaggio!
Inoltre, sbagli il calcolo del polinomio caratteristico al secondo passaggio!
"sted":
Scusate l'attesa, in questi giorni ho provato a farli diverse volte e sono riuscito ad arrivare a questo
Sbagli il calcolo del determinante, ti consiglio di andare a rivedere come si calcola il determinante di una matrice, perchè altrimenti questi esercizi sulla diagonalizzazione non ti riusciranno mai.
Quando scegli la riga o la colonna lungo la quale sviluppare NON conta solo il primo termine di quella riga / colonna, ma tutti quanti!!
(comunque, per i moderatori, secondo me non è corretto oscurare parti di una risposta che potrebbe comunque aiutare chi legge il post. Obiettivamente una persona viene qui per avere delle risposte a ciò che cerca, quindi oscurare parti di risposte non aiuta, anzi fa solo salire la frustrazione)
Basterebbe seguire le regole 
Per esempio perché citare inutilmente un messaggio?
Per esempio perché citare inutilmente un messaggio?
caro @lebesgue,
questo non è un forum a "botta e risposta", qui si invitano\aiutano le persone a ragionare sui quesiti posti.
Ti saluto di fretta,
j18eos
questo non è un forum a "botta e risposta", qui si invitano\aiutano le persone a ragionare sui quesiti posti.
Ti saluto di fretta,
j18eos
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