Esercizio diagonalizzazione
ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio...potete darmi una mano 
Si consideri l'endomorfismo f di R^3
che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0;1; 1) $ epsilon $ Kerf e
l'autospazio di f relativo all'autovalore 5 e V5 = f(x; y; z)={x + y + 2z = 0}.
a) Dire se f e diagonalizzabile giusti cando la risposta.
b) Scrivere il polinomio caratteristico di f.
c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R^3
l'autovalore 5 ha molteplicità geometrica 2... questo è sicuro e lo vedo dall'autospazio che è formato da due vettori che posso ricavare facilmente;
adesso manca il terzo autovalore: se è uguale a 5 non è diagonalizzabile se è diverso da 5 è diagonalizzabile ;penso di dover ricavare il terzo autovalore sfruttando l'appartenenza di quel vettore al KeR ma non so come fare......
qualche idea ????
Si consideri l'endomorfismo f di R^3
che soddisfa le seguenti condizioni: il vettore (0;1; 1) $ epsilon $ Kerf e
l'autospazio di f relativo all'autovalore 5 e V5 = f(x; y; z)={x + y + 2z = 0}.
a) Dire se f e diagonalizzabile giusti cando la risposta.
b) Scrivere il polinomio caratteristico di f.
c) Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica di R^3
l'autovalore 5 ha molteplicità geometrica 2... questo è sicuro e lo vedo dall'autospazio che è formato da due vettori che posso ricavare facilmente;
adesso manca il terzo autovalore: se è uguale a 5 non è diagonalizzabile se è diverso da 5 è diagonalizzabile ;penso di dover ricavare il terzo autovalore sfruttando l'appartenenza di quel vettore al KeR ma non so come fare......
qualche idea ????
Risposte
Ciao marco
Il tuo esercizio l'ho risolto così:
1)$ f $ è diagonalizzabile perchè $ R^3=kerfo+V_5 $ ossia una base del ker unita ad una dell'autospazio formano una base di $ R^3 $.
3)Devi trovare i trasformati degli $ e_i $ e calcolarne le coordinate rispetto alla base $ e_i $. Per fare questo usi il fatto che $ f( 0,1,1)=f(e_2)+f(e_3)=0, f(-1,1,0)=-f(e_1)+f(e_2)=-5e_1+5e_2, f(-2,0,1)=-2f(e_1)+f(e_3)=-10e_1+5e_3 $. Risolvi il sistema e trovi che la matrice è $ ( ( 5 , 0 , 0 ),( -5/3 , 10/3 , -10/3 ),( -5/3 , -5/3 , 5/3 ) ) $ .
2)Trovi il polinomio con la matrice di prima.
Se hai dei dubbi scrivimi.
Ciao!
Il tuo esercizio l'ho risolto così:
1)$ f $ è diagonalizzabile perchè $ R^3=kerfo+V_5 $ ossia una base del ker unita ad una dell'autospazio formano una base di $ R^3 $.
3)Devi trovare i trasformati degli $ e_i $ e calcolarne le coordinate rispetto alla base $ e_i $. Per fare questo usi il fatto che $ f( 0,1,1)=f(e_2)+f(e_3)=0, f(-1,1,0)=-f(e_1)+f(e_2)=-5e_1+5e_2, f(-2,0,1)=-2f(e_1)+f(e_3)=-10e_1+5e_3 $. Risolvi il sistema e trovi che la matrice è $ ( ( 5 , 0 , 0 ),( -5/3 , 10/3 , -10/3 ),( -5/3 , -5/3 , 5/3 ) ) $ .
2)Trovi il polinomio con la matrice di prima.
Se hai dei dubbi scrivimi.
Ciao!
grazie 1000 per l'attenzione....però non riesco a capire come hai trovato la matrice...poi tralatro l'autovalore era -5 e non 5 c'era un errore nel testo
Ciao marco
Allora per quanto riguarda l'errore da 5 a -5 non ti preoccupare che nello svolgimento dell'esercizio non cambia nulla. L'unica cosa che cambierà sarà la matrice. A proposito di questa provo a spiegarti come ho fatto a ricavarla. Tu sai che se voglio la matrice associata ad $ f $ rispetto alla base canonica devo fare i trasformati di $ e_1,e_2,e_3 $ e calcolare le coordinate di ciò che ottengo nella base $ e_1,e_2,e_3 $. Sfruttiamo le informazioni che ci vengono date: dire che $ (0,1,1)inkerf $ significa che $ f(0,1,1)=(0,0,0) $ ma $ (0,1,1)=e_2+e_3 rArr f(0,1,1)=f(e_2+e_3)=f(e_2)+f(e_3)=0 $. Per gli altri vettori avrai che se appartengono all'autospazio con autovalore -5$ rArr f(-1,1,0)=f(-e_1+e_2)=-f(e_1)+f(e_2)=5e_1-5e_2 $ e $ f(-2,0,1)=-2f(e_1)+f(e_3)=10e_1-5e_2 $. Se risolvi il sistema costituito da queste equazioni, ti trovi che gli $ f(e_i) $ sono espressi nella base $ e_i $.
Spero che ora sia più chiaro altrimenti scrivimi.
Ciao!
Allora per quanto riguarda l'errore da 5 a -5 non ti preoccupare che nello svolgimento dell'esercizio non cambia nulla. L'unica cosa che cambierà sarà la matrice. A proposito di questa provo a spiegarti come ho fatto a ricavarla. Tu sai che se voglio la matrice associata ad $ f $ rispetto alla base canonica devo fare i trasformati di $ e_1,e_2,e_3 $ e calcolare le coordinate di ciò che ottengo nella base $ e_1,e_2,e_3 $. Sfruttiamo le informazioni che ci vengono date: dire che $ (0,1,1)inkerf $ significa che $ f(0,1,1)=(0,0,0) $ ma $ (0,1,1)=e_2+e_3 rArr f(0,1,1)=f(e_2+e_3)=f(e_2)+f(e_3)=0 $. Per gli altri vettori avrai che se appartengono all'autospazio con autovalore -5$ rArr f(-1,1,0)=f(-e_1+e_2)=-f(e_1)+f(e_2)=5e_1-5e_2 $ e $ f(-2,0,1)=-2f(e_1)+f(e_3)=10e_1-5e_2 $. Se risolvi il sistema costituito da queste equazioni, ti trovi che gli $ f(e_i) $ sono espressi nella base $ e_i $.
Spero che ora sia più chiaro altrimenti scrivimi.
Ciao!
Una volta trovati f(e1) f(e2) f(e3) li metto in colonna e quella è la mia matrice ???
Si esattamente
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