Esercizio diagonalizzabilità matrice 5x5
Ciao a tutti!
Ho incontrato un esercizio riguardo alla diagonalizzabilità di una matrice. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Sia $ A = ( ( 2/3 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
1) Si provi che $A in RR^(5x5)$ non è diagonalizzabile;
2) Si diagonalizzi $A in CC^(5x5)$.
Ho iniziato affrontando il punto 1 dell'esercizio. Prima di tutto ho scritto la matrice :
$ A = ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -\lambda , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -\lambda ) ) $
Il polinomio caratteristico è dunque:
$det (A - \lambda I) = (2/3 - \lambda) \lambda^4 = 0$
e gli autovalori sono dunque:
$\lambda_1 = 0$ (molteplicità algebrica 4)
$\lambda_2 = 2/3 $(molteplicità algebrica 1)
Affinché la matrice sia diagonalizzabile è necessario che la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni singolo autovalore coincidano.
La molteplicità geometrica è uguale a $dim Ker (A - \lambda I) = n - rg (A - \lambda I) = 5 - rg (A - \lambda I)$.
Abbiamo che:
$ rg (A - \lambda I) = rg ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -\lambda , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -\lambda ) ) = rg ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 -\lambda^2 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , -1 -\lambda^2 ) )$.
Il rango di tale matrice dovrebbe essere uguale a 5 in quanto risolvendo il sistema lineare associato alla matrice ridotta si ottiene $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$.
Siccome, il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine della matrice stessa e, siccome una base dell'immagine è data dalle colonne linearmente indipendenti, si ottiene:
$dim Ker (A - \lambda I) = n - rg (A - \lambda I) = 5 - 5 = 0$. Visto che la molteplicità algebrica del primo autovalore è diversa rispetto alla molteplicità geometrica, concludo che la matrice non è diagonalizzabile.
E' giusto il procediemento fino a qui? Se è giusto, dopo proseguo con la seconda parte dell'esercizio. Grazie a tutti in anticipo e scusate per il post chilometrico ma volevo esplicitare tutto per evitare ogni tipo di incomprensione.
Ho incontrato un esercizio riguardo alla diagonalizzabilità di una matrice. La traccia dell'esercizio è la seguente:
Sia $ A = ( ( 2/3 , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
1) Si provi che $A in RR^(5x5)$ non è diagonalizzabile;
2) Si diagonalizzi $A in CC^(5x5)$.
Ho iniziato affrontando il punto 1 dell'esercizio. Prima di tutto ho scritto la matrice :
$ A = ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -\lambda , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -\lambda ) ) $
Il polinomio caratteristico è dunque:
$det (A - \lambda I) = (2/3 - \lambda) \lambda^4 = 0$
e gli autovalori sono dunque:
$\lambda_1 = 0$ (molteplicità algebrica 4)
$\lambda_2 = 2/3 $(molteplicità algebrica 1)
Affinché la matrice sia diagonalizzabile è necessario che la molteplicità algebrica e la molteplicità geometrica di ogni singolo autovalore coincidano.
La molteplicità geometrica è uguale a $dim Ker (A - \lambda I) = n - rg (A - \lambda I) = 5 - rg (A - \lambda I)$.
Abbiamo che:
$ rg (A - \lambda I) = rg ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -\lambda , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -\lambda ) ) = rg ( ( 2/3 - \lambda , 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -\lambda , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 2 -\lambda^2 , 0 , 0 ),( 0, 0 , 0 , -\lambda , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , -1 -\lambda^2 ) )$.
Il rango di tale matrice dovrebbe essere uguale a 5 in quanto risolvendo il sistema lineare associato alla matrice ridotta si ottiene $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = 0$.
Siccome, il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine della matrice stessa e, siccome una base dell'immagine è data dalle colonne linearmente indipendenti, si ottiene:
$dim Ker (A - \lambda I) = n - rg (A - \lambda I) = 5 - 5 = 0$. Visto che la molteplicità algebrica del primo autovalore è diversa rispetto alla molteplicità geometrica, concludo che la matrice non è diagonalizzabile.
E' giusto il procediemento fino a qui? Se è giusto, dopo proseguo con la seconda parte dell'esercizio. Grazie a tutti in anticipo e scusate per il post chilometrico ma volevo esplicitare tutto per evitare ogni tipo di incomprensione.
Risposte
E' spuntato un $-1$ in riga 4 colonna 5 che non si sa bene da dove viene.
Inoltre il polinomio non è corretto (1nche col -1).
Inoltre il polinomio non è corretto (1nche col -1).
Ho corretto la matrice $A$ di partenza. Inoltre, mi sembra che il determinante della matrice $(A- \lambda I)$ sia proprio quello. Ho appena rifatto i calcoli e mi esce uguale.
Scusate ragazzi ma io per calcolare il determinante utilizzo il metodo che consiste nel riscrivere accanto alla matrice le prime due colonne e mi esce sempre quel determinante 
Non riesco proprio a capire dove sbaglio!
Non riesco proprio a capire dove sbaglio!
Oddio mio che erroraccio! Grazie di avermelo fatto notare...non ci sto più nella testa oggi. A parte il fatto che il polinomio caratteristico è sbagliato, il resto del procedimento era corretto?
Ho usato il Teorema di Laplace e adesso il determinante esce. Scusate ancora per la terribile svista...
Gli autovalori sono ovviamente diversi. Ottengo $\lambda_1 = -sqrt(2)$, $\lambda_2= 2/3$ e $\lambda_3 = sqrt(2)$. Nel caso in cui si considerano come elementi di $CC$ allora bisogna considerare anche gli autovalori $\lambda_4 = -i$ e $\lambda_5 = i$, sempre con molteplicità algebrica uguale a 1. Notavo però che la matrice $(A - \lambda I)$ rimane inverata e il rango di questa matrice, secondo il ragionamento che ho fatto prima, dovrebbe sempre essere uguale a 5. Di conseguenza, anche in questo caso, $dim Ker (A -\lambda I) = 0$ e dunque la molteplicità geometrica non coincide ancora una volta con quella geometrica. L'esercizio però da la certezza dell'esistenza di una matrice diagonalizzata nel caso di $A in CC$. Dove ho sbagliato questa volta? Grazie!
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