Esercizio di topologia: omeomorfismo tra circonferenza e quadrato
Si considerino in R2 le seguenti norme:
|x|2=sqrt(x^2+y^2)
|x|sup= max{|x|,|y|}
e siano:
S1={x : |x|2=1}
Q={x : |x|sup=1}
Dimostrare che la funzione f : S1->Q definita da f(x)=x/|x|sup
sia un omeomorfismo, considerando le topologie indotte dalle rispettive norme.
In altre parole devo mostrare che la circonferenza unitaria di centro l'origine, considerata come sottoinsieme di R2 munito della topologia indotta dalla norma euclidea è omeomorfa al quadrato visto come sottoinsieme di R2 minuto della topologia indotta dalla norma del sup o norma infinito.
La funzione f associa ad un vettore v=(x,y) di S1 il vettore che ha per componenti quelle di v divise per la norma del sup di v, cioè divise per il modulo della componente che ha modulo massimo.
Qualsiasi suggerimento è ben accetto...
|x|2=sqrt(x^2+y^2)
|x|sup= max{|x|,|y|}
e siano:
S1={x : |x|2=1}
Q={x : |x|sup=1}
Dimostrare che la funzione f : S1->Q definita da f(x)=x/|x|sup
sia un omeomorfismo, considerando le topologie indotte dalle rispettive norme.
In altre parole devo mostrare che la circonferenza unitaria di centro l'origine, considerata come sottoinsieme di R2 munito della topologia indotta dalla norma euclidea è omeomorfa al quadrato visto come sottoinsieme di R2 minuto della topologia indotta dalla norma del sup o norma infinito.
La funzione f associa ad un vettore v=(x,y) di S1 il vettore che ha per componenti quelle di v divise per la norma del sup di v, cioè divise per il modulo della componente che ha modulo massimo.
Qualsiasi suggerimento è ben accetto...
Risposte
Bè per mostrare che è un omeomorfismo devi far vedere che $f$ è biettiva e che l'inversa è continua.
Inizia con il trovare l'inversa $f^(-1)=g$, verifica che la loro composizione è l'identità e che $g$ è continua e dovresti aver fatto.
Inizia con il trovare l'inversa $f^(-1)=g$, verifica che la loro composizione è l'identità e che $g$ è continua e dovresti aver fatto.
Ricorda che:
- La topologia indotta dalla norma del sup è la stessa che è indotta dalla norma euclidea.
- Prova a fare un disegno delle due figure, e cerca di capire cosa fa la mappa $f$; l'inversa di $f$ è la prima mappa che ti viene in mente per mandare un punto qualsiasi su una circonferenza.
- La topologia indotta dalla norma del sup è la stessa che è indotta dalla norma euclidea.
- Prova a fare un disegno delle due figure, e cerca di capire cosa fa la mappa $f$; l'inversa di $f$ è la prima mappa che ti viene in mente per mandare un punto qualsiasi su una circonferenza.
L'inversa di f è g: Q->S1 definita da g( x )=x/|x|2
Giusto?
Che f e g sono continue riesco a dirlo perché il punto (0,0) non appartiene a S1 e a Q.
Come devo fare invece per dimostrare la biettività?
Giusto?
Che f e g sono continue riesco a dirlo perché il punto (0,0) non appartiene a S1 e a Q.
Come devo fare invece per dimostrare la biettività?
Ma che cosa significa per te che una funzione è biettiva?
che è sia iniettiva che suriettiva.
che è iniettiva cioè che se due vettori di S1 hanno la stessa immagine in Q tramite f allora necessariamente devono essere lo stesso vettore.
che è suriettiva cioè che ogni vettore di Q è immagine di un vettore di S1 tramite f
che è iniettiva cioè che se due vettori di S1 hanno la stessa immagine in Q tramite f allora necessariamente devono essere lo stesso vettore.
che è suriettiva cioè che ogni vettore di Q è immagine di un vettore di S1 tramite f
Una funzione invertibile è secondo te biettiva?
forse ho capito... per essere invertibile deve essere biettiva
quindi il fatto che ho trovato un'inversa continua mi basta a dire che è biettiva perchè se non lo fosse non sarebbe invertibile
giusto?
quindi il fatto che ho trovato un'inversa continua mi basta a dire che è biettiva perchè se non lo fosse non sarebbe invertibile
giusto?
Ma anche nel caso in cui l'inversa non fosse stata continua sarebbe andata bene lo stesso..
Grazie mille!!
un'ultima cosa.. per dire f e g sono continue mi basta dire che al loro dominio non appartiene (0,0) che è l'unico punto in cui esse non sono definite?
nessuna risposta? 
Per dimostrarlo correttamente dovresti usare la definizione di continuità o equivalenti ( $f: X -> Y $ continua se e solo se per ogni $A\inY$ aperto $f^(-1)(A)\inX$ è aperto (ho usato appartiene perché non ricordo il simbolo contenuto)).
La tua dimostrazione è più d'analisi, ma al tuo professore può andar bene
La tua dimostrazione è più d'analisi, ma al tuo professore può andar bene
Sto studiando topologia.. quindi avevo pensato di utilizzare quella definizione che mi hai detto tu però di che tipo sono gli aperti in S1 e in Q? Sopra mi hanno detto che le due topologie indotte coincidono con quella euclidea.. e gli aperti in R2 con la topologia euclidea sono le palle aperte... non riesco a vedere come queste possano essere contenute in S1 o Q
In generale se $Y \subseteq X$ la topologia di $X$ induce una topologia su $Y$ (detta topologia indotta) in cui gli aperti sono dati da aperti di $X$ intersecati con $Y$. In particolare, una base di aperti per $S^1$ (rispettivamente per $Q$) sono le intersezioni tra pallette aperte di $\RR^2$ e $S^1$ (rispettivamente $Q$).
Non è difficile osservare che una base di intorni aperti per un punto $p$ di $S^1$ sono gli "intervallini" aperti centrati in $p$ contenuti in $p$, cioè archetti di circonferenza centrati in $p$. Analogamente su $Q$, una base di intorni per un punto $q$ sono segmentini centrati in $q$ se $q$ è su un lato mentre sono pezzettini dei due lati se $q$ è su un vertice. In sostanza, la topologia non si accorge di "dove" è il punto: per la topologia non fa differenza se un punto è su una retta, su una circonferenza, o sul bordo di un quadrato (quando si considera la topologia della retta, della circonferenza o del bordo del quadrato).
Una volta osservate queste cose, non è difficile far vedere (in modo molto brutale, con un po' di conticini) che le due proiezioni sono continue. Ancora più facilmente, puoi fare i conti utilizzando la funzione distanza (quella che ti torna più comodo, dal momento che le due distanze che hai a disposizione inducono la stessa topologia).
Non è difficile osservare che una base di intorni aperti per un punto $p$ di $S^1$ sono gli "intervallini" aperti centrati in $p$ contenuti in $p$, cioè archetti di circonferenza centrati in $p$. Analogamente su $Q$, una base di intorni per un punto $q$ sono segmentini centrati in $q$ se $q$ è su un lato mentre sono pezzettini dei due lati se $q$ è su un vertice. In sostanza, la topologia non si accorge di "dove" è il punto: per la topologia non fa differenza se un punto è su una retta, su una circonferenza, o sul bordo di un quadrato (quando si considera la topologia della retta, della circonferenza o del bordo del quadrato).
Una volta osservate queste cose, non è difficile far vedere (in modo molto brutale, con un po' di conticini) che le due proiezioni sono continue. Ancora più facilmente, puoi fare i conti utilizzando la funzione distanza (quella che ti torna più comodo, dal momento che le due distanze che hai a disposizione inducono la stessa topologia).
Grazie per la risposta. Ora è più chiaro di che tipo sono gli intorni aperti in S1 e in Q. Non mi è tanto chiaro che conto devo fare quindi per far vedere che le mie due funzioni mandino aperti di quel tipo cioè archetti di circonferenza di S1 in segmentini di Q e viceversa...
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