Esercizio di Topologia
Buon giorno!
Avrei un problema con un esercizio di topologia. Purtroppo il professore ha detto che è fondamentale e io non riesco a capirlo...
Sia t $ in $ $[0,1)$ e sia la funzione exp: t $ rarr $ $RR^2$ tale che exp(t) = (cos2$pi$t, sen2$pi$t)
Mostrare che exp non è un omeomorfismo.
Allora che exp sia biettiva ci sono più o meno...il motivo credo sia che viene solo un quarto di circonferenza...è giusto?
Per dimostrare che è continua e che la sua inversa non lo è sinceramente ho dei grossi problemi.
Potete aiutarmi?
Avrei un problema con un esercizio di topologia. Purtroppo il professore ha detto che è fondamentale e io non riesco a capirlo...
Sia t $ in $ $[0,1)$ e sia la funzione exp: t $ rarr $ $RR^2$ tale che exp(t) = (cos2$pi$t, sen2$pi$t)
Mostrare che exp non è un omeomorfismo.
Allora che exp sia biettiva ci sono più o meno...il motivo credo sia che viene solo un quarto di circonferenza...è giusto?
Per dimostrare che è continua e che la sua inversa non lo è sinceramente ho dei grossi problemi.
Potete aiutarmi?
Risposte
Io direi che non è molto comodo provare che non è verificata la definizione di omeomorfismo...
Non so la definizione precisa di omeomorfismo che stai usando. Immagino che per te un omeomorfismo fra due spazi topologici $X$,$Y$ è una funzione $f:X\to Y$ continua, ingettiva e tale che la funzione $g:f(X)\to X$ è continua, dove $g=(f_{\#})^{-1}$ (spero che le notazioni siano universali, se così non fosse, dimmelo e te le spiego).
Per me un omeomorfismo è qualcosa di leggermente diverso, comunque useremo la definizione precedente.
Premesso ciò, puoi osservare che
1) Se $f:X\to Y$ è un omeomorfismo e $x_0\in X$, allora, posto $X'=X-{x_0}$ e $f'=f_{|X'}$, si ha che $f':X'\to Y$ è un omeomorfismo;
2) Se $g:A\to B$ è un omeomorfismo, allora $A$ è connesso se e solo se $f(A)$ è connesso.
Vedi un po' che si può fare...
Non so la definizione precisa di omeomorfismo che stai usando. Immagino che per te un omeomorfismo fra due spazi topologici $X$,$Y$ è una funzione $f:X\to Y$ continua, ingettiva e tale che la funzione $g:f(X)\to X$ è continua, dove $g=(f_{\#})^{-1}$ (spero che le notazioni siano universali, se così non fosse, dimmelo e te le spiego).
Per me un omeomorfismo è qualcosa di leggermente diverso, comunque useremo la definizione precedente.
Premesso ciò, puoi osservare che
1) Se $f:X\to Y$ è un omeomorfismo e $x_0\in X$, allora, posto $X'=X-{x_0}$ e $f'=f_{|X'}$, si ha che $f':X'\to Y$ è un omeomorfismo;
2) Se $g:A\to B$ è un omeomorfismo, allora $A$ è connesso se e solo se $f(A)$ è connesso.
Vedi un po' che si può fare...
Purtroppo il testo dell'esercizio chiede specificatamente di risolverlo con la definizione! Ahimè!
Cmq si per me è una funzione biettiva e continua con inversa continua.
Cmq si per me è una funzione biettiva e continua con inversa continua.
Non è più facile far vedere che non è aperta?
Probabilmente...ma richiede sia fatto con la definizione. E lo definisce come una funzione biettiva continua con inversa continua.
"mistake89":
Non è più facile far vedere che non è aperta?
Giusto Mistake, è immediato anche in questo modo. E non scomoda altre proprietà topologiche (come la connessione che avevo citato io).
E tra l'altro, dimostrare che non è aperta corrisponde in un certo senso a dimostrare che l'inversa non è continua (che è quello che sta cercando di fare CriCri).
Seguendo il suggerimento di Mistake, si può far vedere che la controimmagine di [tex][0,1/2[[/tex] (che è aperto in [tex][0,1[[/tex]) mediante l'inversa di [tex]f[/tex] non è aperto.
Da cui seguirà che l'inversa di [tex]f[/tex] non è continua.
Perfetto grazie mille!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo