Esercizio di matematica discreta

[ramy1989]

Salve a tutti.
Ho svolto questo esercizio:
Dati due vettori v1={2,3,1} e v2={1,0,1} , trovare un terzo vettore v3 tale che l' insieme {v1,v2,v3} sia una base per R^3.
L' ho svolto facendo una matrice dei vettori:

|| 2 3 1 ||
|| 1 0 1 ||
|| 0 0 0 ||

Poi l' ho ridotta a scala ed è venuto fuori:

|| 2 3 1 ||
|| 0 -3/2 1/2 ||
|| 0 0 0 ||

Poi ho sostituito all' ultima riga un vettore non linermente dipendente, cioè che non può essere azzerato sommandolo a un altro vettore moltiplicato per uno scalare.
Ho trovato v3={0,0,1}
Vorrei sapere se secondo voi il procedimento e il risultato sono giusti.

[j18eos]

Perché hai posto l'ultima riga totalmente a [tex]$0$[/tex]? E come da ciò sei giunto a quel vettore?

[ramy1989]

Mi sono basato sul fatto che per verificare che un insieme di vettori sono linearmente indipendenti, è possibile costruire una matrice e vedere se con operazioni come scambi di righe, somma tra due righe,ecc.... è possibile rendere una riga uguale a zero.
Allora ho pensato di fare il ragionamento opposto: partendo da due vettori, il terzo lo suppongo inizialmente uguale al vettore nullo, poi una volta che ho ottenuto una matrice a scala, provo a sostituire il terzo vettore con un vettore tale che non può essere annullato con un' operazione tra righe.
In effetti la matrice:

|| 2 3 1 ||
|| 0 -3/2 1/2 ||
|| 0 0 1 ||

Ha rango 3 se non sbaglio.

[ramy1989]

Bah...sembra deserto questo forum.
Mi si chiedono pure spiegazioni per poi non rispondere alla domanda.

[maurer]

Calma. Nessuno qui è al tuo servizio! j18eos risponderà quando ne avrà la possibilità... o lo farà qualcun altro!

[maurer]

Comunque, il procedimento va bene, ma non ha senso mettere quella riga nulla all'inizio. E in realtà non serve neppure ridurre a scala, giacché
[tex]\left( \begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}\right)[/tex]
è già ridotta per righe. Puoi aggiungere una nuova riga in modo che la matrice continui ad essere ridotta per righe, quindi lo [tex](0,0,1)[/tex] che proponi tu va benissimo.

[orazioster]

ma come fai a sostituire il terzo vettore DOPO la riduzione a scalini?

per avere un vettore indipendente da altri, è /sufficiente imporre che sia ortogoanle a ciascuno di questi.

In questo caso avere il sistema:
$2x+3y+z=0$
$x+z=0$

[maurer]

@orazioster: quello che dici è giusto, ma richiede la soluzione di un sistema. Riducendo la matrice a scalini (anche se in questo caso non era necessario), vediamo subito ad occhio cosa possiamo aggiungere in modo da aumentare il rango di 1. E' una scorciatoia utile, specie quando hai poco tempo e tanti conti da fare.

[Studente Anonimo]

"ramy1989":Bah...sembra deserto questo forum.
Mi si chiedono pure spiegazioni per poi non rispondere alla domanda.

[mod="Martino"]Sottoscrivo quanto detto da maurer: calma, nessuno e' al tuo servizio. Cerca di evitare queste uscite in futuro, grazie.[/mod]

[orazioster]

"maurer":@orazioster: quello che dici è giusto, ma richiede la soluzione di un sistema. Riducendo la matrice a scalini (anche se in questo caso non era necessario), vediamo subito ad occhio cosa possiamo aggiungere in modo da aumentare il rango di 1. E' una scorciatoia utile, specie quando hai poco tempo e tanti conti da fare.

sì, non avevovisto che avevi già risposto.

E cercavo ingenerale una condizione da imporre per l' indipendenza.

[maurer]

Sì, hai ragione, non fraintendermi. Come metodo generale è validissimo e, anzi, è l'unico che viene in mente anche a me, per lavorare in astratto. Solo che nella quotidianità dei sporchi conti a volte ci sono truccacci per accelerare

[ramy1989]

Ok grazie per le risposte e mi scuso per la mia "uscita".