Esercizio di geometria su i piani.
Ho incominciato a fare un nuovo argomento, e ci sono degli esercizi a proposito, vorrei controllare con voi.
Ho due piani:
$alpha: 3x-y+2z+2=0$
$Beta: x+y-z=0$
a) si dica se i piani sono paralleli.
Non sono paralleli tra loro. perchè sarebbe dovuto essere $(a,b,c)=tau(a',b',c')$ oppure:
$3x-y+2z+K=0$ o $x+y-z+k=0$.
b) si dica se sono ortogonali.
Si, sono ortogonali perchè:
$(3,-1,2)*(1,1,-1)=0$
per adesso solo questo. Grazie dell'attenzione.
Ho due piani:
$alpha: 3x-y+2z+2=0$
$Beta: x+y-z=0$
a) si dica se i piani sono paralleli.
Non sono paralleli tra loro. perchè sarebbe dovuto essere $(a,b,c)=tau(a',b',c')$ oppure:
$3x-y+2z+K=0$ o $x+y-z+k=0$.
b) si dica se sono ortogonali.
Si, sono ortogonali perchè:
$(3,-1,2)*(1,1,-1)=0$
per adesso solo questo. Grazie dell'attenzione.
Risposte
Sì è corretto!
Sempre di questo esercizio mi si chiede:
dire se l'intersezione di $alpha$ e $beta$ è una retta:
${(3x-y+2z+2=0),(x+y-z=0):}$
è una retta e il suo vettore direttore è:
$((3,-1,2),(1,1,-1))$
$=(-1,+5,4)$
si dica se è parallela alla retta $s$:
${(x=2-t),(y=1+t),(z=-1+2t);}$
il cui vettore direttore è: $(-1,1,2)$
le due rette non risultano parallele perchè i vettori direttori non sono nè uguali, nè proporzionali.
Va bene fin qui?
dire se l'intersezione di $alpha$ e $beta$ è una retta:
${(3x-y+2z+2=0),(x+y-z=0):}$
è una retta e il suo vettore direttore è:
$((3,-1,2),(1,1,-1))$
$=(-1,+5,4)$
si dica se è parallela alla retta $s$:
${(x=2-t),(y=1+t),(z=-1+2t);}$
il cui vettore direttore è: $(-1,1,2)$
le due rette non risultano parallele perchè i vettori direttori non sono nè uguali, nè proporzionali.
Va bene fin qui?
Se i conti sono esatti (non ho controllato il vattore direttore) allora sì è corretto!
Sì, li ho riprovati più volte per essere sicuro.
Se non ti dispiace continuo a scrivere qui l'altro esercizio inerente a questo compito.
Si determini una retta ortogonale sia ad $r$ che ad $s$.
${((l,m,n)*(-1,5,4)=0),((l,m,n)*(-1,1,2)=0)}$
(io ho messo a sistema $l,m,n$ moltiplicate per i due vettori direttori)
svolgendo viene che:
$V_o=(-3,1,-2)$
Ho fatto la prova con i rispettivi vettori direttori di $r$ e $s$ e mi trovo che:
$(-3,1,-2)*(-1,1,2)=3+1-4=0$
e
$(-3,1,-2)*(-1,5,4)=3+5-8=0$
dunque la retta ortogonale a r e s ha come vettore direttore $V_o=(-3,1,-2)$
ma poi non so come formare la retta.
suggerimenti? grazie
Se non ti dispiace continuo a scrivere qui l'altro esercizio inerente a questo compito.
Si determini una retta ortogonale sia ad $r$ che ad $s$.
${((l,m,n)*(-1,5,4)=0),((l,m,n)*(-1,1,2)=0)}$
(io ho messo a sistema $l,m,n$ moltiplicate per i due vettori direttori)
svolgendo viene che:
$V_o=(-3,1,-2)$
Ho fatto la prova con i rispettivi vettori direttori di $r$ e $s$ e mi trovo che:
$(-3,1,-2)*(-1,1,2)=3+1-4=0$
e
$(-3,1,-2)*(-1,5,4)=3+5-8=0$
dunque la retta ortogonale a r e s ha come vettore direttore $V_o=(-3,1,-2)$
ma poi non so come formare la retta.
suggerimenti?
grazie
Tale retta non è unica. Se invece ci fosse ortogonale e incidente beh allora sarebbe la retta di minima distanza.
Dunque su un eventuale compito dovrei scrivere 'tale retta non è unica, ma ha come vettore direttore quello trovato'?
Sì potrebbe essere una risposta appropriata.
in teoria il vettore direttore è $v=(l,m,-2m)$, cioè il vettore della tua retta varia al variare di l e m in R, è questo che ci dice che la retta non è unica.
quello scelto da te è soltanto uno dei possibili valori che si possono dare al vettore direttore.
ora che hai il valore del vettore direttore puoi scrivere la retta...
quello scelto da te è soltanto uno dei possibili valori che si possono dare al vettore direttore.
ora che hai il valore del vettore direttore puoi scrivere la retta...
"fra e ste":
in teoria il vettore direttore è $v=(l,m,-2m)$, cioè il vettore della tua retta varia al variare di l e m in R, è questo che ci dice che la retta non è unica.
quello scelto da te è soltanto uno dei possibili valori che si possono dare al vettore direttore.
ora che hai il valore del vettore direttore puoi scrivere la retta...
Ciao
io avevo fatto un sistema è ho trovato che $n=-2m$ e $l=-3m$ ecco perchè poi veniva:
$V=(-3m,m,-2m)$ e dunque $V=(-3,1,-2)$
credevo dunque che questo fosse il vettore direttore di quella retta ortogonale a $r$ e $s$
e non fosse unica come retta perchè poteva essere tipo:
${(x=x'-3t),(y=y'+t),(z=z'-2t)}$
dove $x',y',z'$ sono valori sempre diversi.
ora però dici che è 'quello scelto da te è soltanto uno dei possibili valori che si possono dare al vettore direttore.'
mi sto confondendo.
DOMANDA:
posso scegliere a 'caso' dei numeri e trovarmi un vettore direttore?
e come faccio a trovare la retta?
scrivo la retta come:
$P=P_r+alpha(V_o)+beta(P_r-P_s)$?
No clever, hai fatto bene tu. Dalle due condizioni ottieni esattamente quel vettore.
Comunque rispondendo in generale: No, non puoi attribuire arbitrari valori a $l,m,n$ per determinare un vettore direttore, tuttavia poiché essi sono tutti proporzionali una volta che "isoli" un solo parametro puoi attribuirli arbitrariamente il valore. Ma ad uno solo!
Per verificare che fra e ste hanno detto una cosa incompleta osserva che se fosse $(l,m,-2m)$ un generico vettore perpendicolare al variare di $l,m in RR$ allora anche il vettore $(1,1,-2)$ dovrebbe essere perpendicolare, ma $(1,1,-2) * (-1,1,-2)=-1+1-4 ne 0$ pertanto la retta con tale vettore direttore non risulterebbe perpendicolare ad $r$
Comunque rispondendo in generale: No, non puoi attribuire arbitrari valori a $l,m,n$ per determinare un vettore direttore, tuttavia poiché essi sono tutti proporzionali una volta che "isoli" un solo parametro puoi attribuirli arbitrariamente il valore. Ma ad uno solo!
Per verificare che fra e ste hanno detto una cosa incompleta osserva che se fosse $(l,m,-2m)$ un generico vettore perpendicolare al variare di $l,m in RR$ allora anche il vettore $(1,1,-2)$ dovrebbe essere perpendicolare, ma $(1,1,-2) * (-1,1,-2)=-1+1-4 ne 0$ pertanto la retta con tale vettore direttore non risulterebbe perpendicolare ad $r$
Dunque va bene il mio ragionamento.
In effetti si un vettore direttore deve trovarsi in modo che esca un parametro e posso 'metterlo in evidenzia'.
Ora le rette per quel vettore direttore trovato non sono uniche, ma posso dire che sono del tipo:
${(x=x'-3t),(y=y'+t),(z=z'-2t)}$
con $(x',y',z')$ appartenente ad $R$
si può dire?
In effetti si un vettore direttore deve trovarsi in modo che esca un parametro e posso 'metterlo in evidenzia'.
Ora le rette per quel vettore direttore trovato non sono uniche, ma posso dire che sono del tipo:
${(x=x'-3t),(y=y'+t),(z=z'-2t)}$
con $(x',y',z')$ appartenente ad $R$
si può dire?
Sì, credo di sì. Infatti lungo quella direzione, ogni retta passante per qualsiasi punto risulta perpendicolare ad entrambe. E' facile verificare che tra queste c'è anche quella di minima distanza (questa sì unica) e che tutte le altre sono ovviamente parallele a quest'ultima.
"mistake89":
E' facile verificare che tra queste c'è anche quella di minima distanza (questa sì unica) e che tutte le altre sono ovviamente parallele a quest'ultima.
Ecco, come si fa a calcolare quella di 'minima distanza'?
Non mi sono mai posto questo quesito.
Io conosco una costruzione geometrica, secondo me semplice ed efficace, che ho scritto qui per esempio.
La retta di minima distanza è l'unica retta perpendicolare ed incidente due rette sghembe, cioè è la retta, tra quella perpendicolari che congiunge due punti uno su $s$ e l'altro su $r$.
La retta di minima distanza è l'unica retta perpendicolare ed incidente due rette sghembe, cioè è la retta, tra quella perpendicolari che congiunge due punti uno su $s$ e l'altro su $r$.
Grazie Mistake89, questa pagian da te linkata mi è molto utile, le prendo come spunto per i prossimi esercizi.
Off.topic.
Di questo esercizio tipo esame, c'è un'altra domanda e riguarda alla superfice di rotazione, che non so fare per niente.
apro un nuovo link o scrivo qui il testo? grazie!
Off.topic.
Di questo esercizio tipo esame, c'è un'altra domanda e riguarda alla superfice di rotazione, che non so fare per niente.
apro un nuovo link o scrivo qui il testo? grazie!
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