Esercizio di Geometria, intersezione di sottospazi

[GilmourBlackStrat]

Buonasera a tutti
mi appello al vostro aiuto per togliermi un dubbio su un esercizio assegnato e poi spiegato dal mio professore.
La traccia è la seguente:

Si considerino i sottospazi U e V di R3 definiti ponendo U := Span((1;-2; 1); (-3; 0; 1)) e V :=
Span((1; 1; 1); (0; 1; 2)). Calcolare una base e la dimensione di U ∩ V .

Considerando z il generico vettore di U∩V, possiamo scrivere:
z=a(1,-2,1)+b(-3,0,1) in quanto combinazione lineare dei vettori di U
z= c(1,1,1)+d(0,1,2) in quanto combinazione lineare di vettori di V

Da cui ricaviamo:
a(1,-2,1)+b(-3,0,1)-c(1,1,1)-d(0,1,2)=(0,0,0) relazione tra i vettori sia di U che di V

Per cui, dobbiamo trovarci una base per questo sistema di vettori, risolvendo il sistema:
a-3b-c=0
2a+c+d=0
a+b-c-2d=0

E fin qui il mio procedimento coincide con quello del professore.
A questo punto parte il bivio
Il mio procedimento, probabilmente sbagliato, fa si che a questo punto, dato che abbiamo un sistema di 3 equazioni in 4 incognite, ci dimostra che c'è un vettore sovrabbondante, e in particolare questo può essere qualsiasi vettore visto che possiamo ricavarci a,b e c in funzione di d oppure b,c e d in funzione di a ecc ecc..
Decido quindi arbitrariamente di considerare come sovrabbondante il vettore (1,-2,1), e lo elimino dal sistema di generatori. Mi riduco allora al sistema seguente:

b(-3,0,1)-c(1,1,1)-d(0,1,2)=(0,0,0) e quindi al sistema:

-3b-c=0
-c-d=0
a+b-c-2d=0 che da soluzioni b=c=d=0 , quindi tutti e 3 i vettori sono linearmente indipendenti e costituiscono una
base per U∩V, dunque la dim(U∩V)=3

Per non allungare troppo il post, per adesso non scrivo il procedimento del professore (che ha portato come risultato dim(U∩V)=1), quindi per adesso gradirei che mi diste se ho sbagliato e se si dove, poi confronterò con il procedimento del prof
Grazie in anticipo a tutti!!

[minomic]

Ciao e benvenuta sul forum. Prendiamo il sistema che hai scritto: ${(a-3b-c=0), (2a+c+d=0), (a+b-c-2d=0):}$.
Scriviamo la matrice incompleta associata: $((1, -3, -1, 0), (2, 0, 1, 1), (1, 1, -1, -2))$ e riduciamola con Gauss fino ad arrivare a $((1, -3, -1, 0), (0, 6, 3, 1), (0, 0, -2, -8/3))$ dalla quale è evidente che il rango di questa matrice è $3$, quindi la soluzione dipende da un parametro, nel nostro caso l'incongnita $d$.

Possiamo quindi scrivere $((1, -3, -1, |, 0), (0, 6, 3, |, -d), (0, 0, -2, |, 8/3d))$ e trovare le soluzioni. Se non ho fatto male i conti dovrebbe venire $((d/6), (d/2), (-4/3d), (d)) rarr d((1/6), (1/2), (-4/3), (1))$. Quindi la dimensione è $1$.