Esercizio di geometria e domande
Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio :
in R3 sono dati il punto p(2,0,3) e la retta
r: x-y-1= 2y-z-1=0
determinare:
- piano pigrek passante per p perpedicolare ad r
- retta s passante per p parallela ad r
- il piano contenente le rette r ed s
- la retta passante per p perpendicolare ed incidente ad r
ed inoltre:
dati i vettori u (1,0,3) e v (2,-1,2)
calcolare la norma di u-3v
dare un esempio di sottospazio di dimensione 3 di R6
Ciao e grazie
Anna
in R3 sono dati il punto p(2,0,3) e la retta
r: x-y-1= 2y-z-1=0
determinare:
- piano pigrek passante per p perpedicolare ad r
- retta s passante per p parallela ad r
- il piano contenente le rette r ed s
- la retta passante per p perpendicolare ed incidente ad r
ed inoltre:
dati i vettori u (1,0,3) e v (2,-1,2)
calcolare la norma di u-3v
dare un esempio di sottospazio di dimensione 3 di R6
Ciao e grazie
Anna
Risposte
La retta $r$, che in questo caso è un sottospazio affine di $\mathbb{R}^{3}$ è data dalle equazioni:
${(x-y=1),(2y-z=1):}={(y=x-1),(2x-2-z=1):}={(y=x-1),(z=2x-3):}$
Ci sono due equazioni in tre incognite, c'è un parametro libero, poniamo $x=\alpha$, allora il generico vettore appartenente a tale sottospazio si scrive come: $((\alpha),(\alpha - 1),(2\alpha - 3))=\alpha((1),(1),(2)) + ((0),(-1),(-3))$.
Quindi la direzione della retta è data dal vettore $((1),(1),(2))$.
Per trovare il piano ortogonale a tale retta considera un generico vettore $((x),(y),(z))$ e imponi il prodotto scalare uguale a zero. Troverai un'equazione di questo tipo: $ax+by+cz=0$. Questo è il piano ortogonale alla retta passante per l'origine. La famiglia di piani ortogonali alla retta è data da $ax+by+cz=d$. Per determinale $d$ si impone il passaggio per il punto $P=(2,0,3)$.
La retta $r$ ha equazione cartesiana ${(x-y=1),(2y-z=1):}$, di conseguenza la retta parallela e pasante per l'origine ha equazione ${(x-y=0),(2y-z=0):}$, in generale la famiglia di rette parallele alla retta $r$ ha equazione:
${(x-y=d_{1}),(2y-z=d_{2}):}$
Per determinare $d_{1}$ e $d_{2}$ basta imporre il passaggio per $P=(2,0,3)$.
Se non sbaglio per tre punti passa solo un piano, quindi...
La retta passante per $P$, perpendicolare ed incidente è una particolare retta contenuta nel piano determinato al primo punto.
Per calcolare la norma di un vettore $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ basta calcolare $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}$ (do per scontato che tu sappia fare la differenza di due vettori
)
Per quanto riguarda l'ultima domanda basta trovare te vettori linearmente indipendenti con $6$ componenti.
${(x-y=1),(2y-z=1):}={(y=x-1),(2x-2-z=1):}={(y=x-1),(z=2x-3):}$
Ci sono due equazioni in tre incognite, c'è un parametro libero, poniamo $x=\alpha$, allora il generico vettore appartenente a tale sottospazio si scrive come: $((\alpha),(\alpha - 1),(2\alpha - 3))=\alpha((1),(1),(2)) + ((0),(-1),(-3))$.
Quindi la direzione della retta è data dal vettore $((1),(1),(2))$.
Per trovare il piano ortogonale a tale retta considera un generico vettore $((x),(y),(z))$ e imponi il prodotto scalare uguale a zero. Troverai un'equazione di questo tipo: $ax+by+cz=0$. Questo è il piano ortogonale alla retta passante per l'origine. La famiglia di piani ortogonali alla retta è data da $ax+by+cz=d$. Per determinale $d$ si impone il passaggio per il punto $P=(2,0,3)$.
La retta $r$ ha equazione cartesiana ${(x-y=1),(2y-z=1):}$, di conseguenza la retta parallela e pasante per l'origine ha equazione ${(x-y=0),(2y-z=0):}$, in generale la famiglia di rette parallele alla retta $r$ ha equazione:
${(x-y=d_{1}),(2y-z=d_{2}):}$
Per determinare $d_{1}$ e $d_{2}$ basta imporre il passaggio per $P=(2,0,3)$.
Se non sbaglio per tre punti passa solo un piano, quindi...
La retta passante per $P$, perpendicolare ed incidente è una particolare retta contenuta nel piano determinato al primo punto.
Per calcolare la norma di un vettore $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ basta calcolare $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}$ (do per scontato che tu sappia fare la differenza di due vettori
)Per quanto riguarda l'ultima domanda basta trovare te vettori linearmente indipendenti con $6$ componenti.
"Tipper":
Per calcolare la norma di un vettore $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ basta calcolare $\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}=\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}}$
Questa però è la norma euclidea, non la norma in generale...
Sì hai ragione, quella in generale è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso, grazie per la precisazione.
Volendo sì, ma in generale una norma è un'applicazione
definita su uno spazio vettoriale a valori in $RR$
che soddisfa determinate proprietà...
definita su uno spazio vettoriale a valori in $RR$
che soddisfa determinate proprietà...
"fireball":
Volendo sì, ma in generale una norma è un'applicazione
definita su uno spazio vettoriale a valori in $RR$
che soddisfa determinate proprietà...
Intendi:
$\langle x,y \rangle=x_{1}y_{1}^{\ast}+x_{2}y_{2}^{\ast}+\ldots + x_{n}y_{n}^{\ast}$
$\langle x,x \rangle \ge 0$ $forall x$
$\langle x,x \rangle=0$ $\Leftrightarrow x=\mathcal{O}$
?
Puoi definire una norma anche senza prodotto scalare...
Mi sembra che le 3 proprietà siano queste.
Sia V uno spazio vettoriale su R, sia $x in V$.
Allora la norma di x ha queste proprietà:
$||x||>=0 " e " ||x||=0<=>= x=O$ per ogni x di V
$||x+y||<=||x||+||y||$ per ogni x, y di V
$||lambdax||=|lambda|*||x||$ per ogni $lambda in RR, x in V$
Esempio: una norma definita sullo spazio vettoriale
R può essere il modulo di un numero reale. Infatti
la funzione modulo soddisfa tutte queste proprietà.
La norma euclidea in $RR^n$ è analoga alla
funzione valore assoluto in $RR$. In $RR^n$ geometricamente
ti dà la lunghezza di un vettore, in $RR$ ti dà
la lunghezza di un segmento giacente sull'asse x
avente per primo estremo l'origine e per secondo
estremo un numero reale sull'asse x...
Mi sembra che le 3 proprietà siano queste.
Sia V uno spazio vettoriale su R, sia $x in V$.
Allora la norma di x ha queste proprietà:
$||x||>=0 " e " ||x||=0<=>= x=O$ per ogni x di V
$||x+y||<=||x||+||y||$ per ogni x, y di V
$||lambdax||=|lambda|*||x||$ per ogni $lambda in RR, x in V$
Esempio: una norma definita sullo spazio vettoriale
R può essere il modulo di un numero reale. Infatti
la funzione modulo soddisfa tutte queste proprietà.
La norma euclidea in $RR^n$ è analoga alla
funzione valore assoluto in $RR$. In $RR^n$ geometricamente
ti dà la lunghezza di un vettore, in $RR$ ti dà
la lunghezza di un segmento giacente sull'asse x
avente per primo estremo l'origine e per secondo
estremo un numero reale sull'asse x...
Ok, grazie. 
Fidati non sto facendo il saccente... Sto anzi
sfruttando queste domande per testare la mia
preparazione in Analisi, esame che dovrò dare tra breve!
sfruttando queste domande per testare la mia
preparazione in Analisi, esame che dovrò dare tra breve!
"fireball":
Fidati non sto facendo il saccente...
Non l'ho mai pensato...
No è che da come ho esposto la spiegazione, poteva sembrare...
"fireball":
No è che da come ho esposto la spiegazione, poteva sembrare...
Beh, se esponi le le spiegazioni così all'esame allora ti auguro di essere molto saccente
Visto che siamo in tema di generalità, anche uno spazio vettoriale su $\CC$ può essere normato.
Eh eh... Per ora con i complessi ci vado cauto...
Anche perché sul libro della Dal Passo, di Analisi I,
non ci sono... Una cosa alla volta...
Anche perché sul libro della Dal Passo, di Analisi I,
non ci sono... Una cosa alla volta...
Grazie
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