Esercizio di geometria differenziale

[alberto861]

ciao a tutti!! non so proprio da dove iniziare!!!
data $sigma$ da $ICR$ in $R3$ curva biregolrare parametrizzata secondo la lunghezza d'arco per la quale esiste una costante c non nulla tale che $tau(t)=ck(t)$ con $tau$ la torsione e $k$ la curvatura. dimostrare allora che esiste un versore $v$ per cui il prodotto scalare tra v e il versore tangente alla curva è costante

[alberto.cena]

Una curva sghemba le cui tangenti formano un angolo costante $\alpha$ con una direzione prefissata $\vec v$ è, per definizione, un'elica cilindrica.

Una curva è un'elica cilindrica se e solo se il rapporto $\frac k\tau$ è costante.

L'implicazione che ti interessa si può così dimostrare. Indico la curvatura con $\frac 1\rho$.
Poniamo
$\frac \tau \rho = -\tan \alpha$,
allora
$\frac {\cos \alpha} {\rho} = - \frac {\sin \alpha} {\tau}$
e
$ (\frac {\cos \alpha} {\rho} + \frac {\sin \alpha} {\tau}) \vec n = \vec 0.$
Per le Formule di Frenet:
$\cos \alpha \frac {d \vec t} {ds} + \sin \alpha \frac {d \vec b} {d s} = \vec 0$
che, integrata, dà:
$ \cos \alpha \vec t + \sin \alpha \vec b = \vec v.$
Moltiplicando per il versore $\vec t$ otteniamo la tesi:
$\cos \alpha = \vec t \cdot \vec v$