Esercizio di Geometria analitica
buongiorno ragazzi, vi propongo il testo di un esercizio di esame:
Sia $ P=(1,0,-1) $ e sia $ s: { ( x=z-2 ),( y=-2z-3 ):} $ calcolare l'equazione della retta passante per P e perpendicolare ad s!
Ho proceduto in questo: s la scrivo in forma parametrica per cui si ha per $ z=t $ $ s: { ( x=-2+t),(y=-3-2t),(z=t) } $ per cui il punto per cui la retta s passa per $ t=0 $ è $ Q=(-2,-3,0) $ mentre i direttori di s sono $ (1,-2,1) $ la retta passante per P e perpendicolare a s è $ r: { (x=1+at), (y=bt) , (z=-1+ct) } $ essendo $ < (a,b,c) , (1,-2,1)> = 0 $ e fissando $ b=1, c=1 $ si ha $a=1$ per cui $ r: { (x=1+t), (y=t) , (z=-1+t) } $ che in carteziano è $ r: { (x-y-1=0), (z-y+1=0)$ è corretto procedere in questo modo? esiste un altro metodo?
Sia $ P=(1,0,-1) $ e sia $ s: { ( x=z-2 ),( y=-2z-3 ):} $ calcolare l'equazione della retta passante per P e perpendicolare ad s!
Ho proceduto in questo: s la scrivo in forma parametrica per cui si ha per $ z=t $ $ s: { ( x=-2+t),(y=-3-2t),(z=t) } $ per cui il punto per cui la retta s passa per $ t=0 $ è $ Q=(-2,-3,0) $ mentre i direttori di s sono $ (1,-2,1) $ la retta passante per P e perpendicolare a s è $ r: { (x=1+at), (y=bt) , (z=-1+ct) } $ essendo $ < (a,b,c) , (1,-2,1)> = 0 $ e fissando $ b=1, c=1 $ si ha $a=1$ per cui $ r: { (x=1+t), (y=t) , (z=-1+t) } $ che in carteziano è $ r: { (x-y-1=0), (z-y+1=0)$ è corretto procedere in questo modo? esiste un altro metodo?
Risposte
Il problema è indeterminato, nel senso che esistono infinite rette passanti per P ed ortogonali alla retta data s.
Esse giacciono tutte nel piano $\alpha$ [vedi figura] passante anch'esso per P e normale alla retta s.
Pertanto la retta che hai trovato ( i calcoli sono esatti) è solo una delle possibili soluzioni al quesito.
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