Esercizio di Geometria
Salve a tutti,
vi sottopongo questo esercizio di geometria, ho provato a risolverlo ma proprio non ci riesco:
Grazie anticipatamente
vi sottopongo questo esercizio di geometria, ho provato a risolverlo ma proprio non ci riesco:
Nello spazio è assegnato un sistema di riferimento Oxyz. Date le due rette (r): x - y = y - z - 4 = 0, (s): x = z - 2y = 0 e il piano (alfa): 2x - y = 0, determinare le rette che incidono su (r) ed (s) e parallele al piano (alfa), tra queste determinare, se esistono le rette complanari all'asse x.
Grazie anticipatamente
Risposte
Ricorrendo alle equazioni parametriche:
$r:\{(x=u),(y=u),(z=u-4):}$
$s:\{(x=0),(y=v),(z=2v):}$
deve valere la seguente condizione:
$[2*(u-0)-1*(u-v)+0*(u-4-2v)=0] rarr [u+v=0] rarr [v=-u]$
Quindi, le infinite rette che stai cercando, dipendenti dal parametro $u$, sono quelle che passano per i $2$ punti:
$A(u,u,u-4)$
$B(0,-u,-2u)$
Infine, la loro rappresentazione cartesiana risulta essere:
$[(x-0)/(u-0)=(y+u)/(u+u)=(z+2u)/(u-4+2u)] rarr [(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)]$ se $u!=0 ^^ u!=4/3$
Potresti completare tu nel caso in cui $u=0 vv u=4/3$.
$r:\{(x=u),(y=u),(z=u-4):}$
$s:\{(x=0),(y=v),(z=2v):}$
deve valere la seguente condizione:
$[2*(u-0)-1*(u-v)+0*(u-4-2v)=0] rarr [u+v=0] rarr [v=-u]$
Quindi, le infinite rette che stai cercando, dipendenti dal parametro $u$, sono quelle che passano per i $2$ punti:
$A(u,u,u-4)$
$B(0,-u,-2u)$
Infine, la loro rappresentazione cartesiana risulta essere:
$[(x-0)/(u-0)=(y+u)/(u+u)=(z+2u)/(u-4+2u)] rarr [(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)]$ se $u!=0 ^^ u!=4/3$
Potresti completare tu nel caso in cui $u=0 vv u=4/3$.
Ciao. Innanzi tutto grazie per la risposta repentina. Penso di avere capito il tuo procedimento, soltanto non mi è chiara una cosa:
per questi due valori il denominatore della retta è 0, e come ben sai ciò è assurdo
. Tuttavia, ho provato a risolvere l'ultimo punto (quello in cui si chiede di trovare le rette complanari all'asse x) in questo modo:
scrivo l'equazione parametrica dell'asse x, formata da x = t, z = 0, y = 0; un suo punto sarà (0,0,0) mentre la direzione (1,0,0); un punto della retta cercata sarà invece (0,-u,-2u) e la direzione (u,2u,3u-4). Costruisco allora la matrice che deve avere determinante zero, cioè:
$ | ( 1, 0 , 0),( u , 2u, 3u-4),( 0, u, 2u) | $ $ = 0 $
che ha come soluzione u = 0 e u = -4. Ma per quanto detto sopra u = 0 è una soluzione da scartare, quindi la retta complanare all'asse x sarà quella con u = -4. E' giusto questo ragionamento ?
"speculor":
Potresti completare tu nel caso in cui u = 0 ∨ u = 4/3.
per questi due valori il denominatore della retta è 0, e come ben sai ciò è assurdo
. Tuttavia, ho provato a risolvere l'ultimo punto (quello in cui si chiede di trovare le rette complanari all'asse x) in questo modo:scrivo l'equazione parametrica dell'asse x, formata da x = t, z = 0, y = 0; un suo punto sarà (0,0,0) mentre la direzione (1,0,0); un punto della retta cercata sarà invece (0,-u,-2u) e la direzione (u,2u,3u-4). Costruisco allora la matrice che deve avere determinante zero, cioè:
$ | ( 1, 0 , 0),( u , 2u, 3u-4),( 0, u, 2u) | $ $ = 0 $
che ha come soluzione u = 0 e u = -4. Ma per quanto detto sopra u = 0 è una soluzione da scartare, quindi la retta complanare all'asse x sarà quella con u = -4. E' giusto questo ragionamento ?
Riprendiamo l'equazione cartesiana:
$[(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)]$ se $u!=0 ^^ u!=4/3$
Quando un denominatore si annulla, la regola "pratica" per non perdere un'equazione, ma facilmente dimostrabile, è di porre uguale a zero il corrispondente numeratore. Quindi:
$\{(x=0),(y=0):}$ se $u=0$ (in quanto si annullano i primi due denominatori)
$\{(z+8/3=0),(x/(4/3)=(y+4/3)/(8/3)):} rarr \{(3z+8=0),(6x-3y-4=0):}$ se $u=4/3$ (in quanto si annulla il terzo denominatore)
Questa discussione è necessaria, anche perchè un'eventuale retta da determinarsi in un punto successivo, potrebbe coincidere proprio con una di queste due. Inoltre, non è che per $u=0$ o per $u=4/3$ la retta non esista, si tratta di determinarla con maggiore accuratezza.
Per quanto riguarda il secondo punto, il procedimento è corretto, anche se andrebbe argomentato con maggiore chiarezza. Per dimostrare che la nostra retta generica e l'asse $x$ sono complanari, puoi dimostrare che i seguenti $3$ vettori sono linearmente dipendenti:
1. Un vettore nella direzione della retta generica: $(u,2u,3u-4)$.
2. Un vettore nella direzione dell'asse $x$: $(1,0,0)$.
3. Un vettore $(0,u,2u)$, differenza di punti, ottenuto congiungendo un qualsiasi punto della retta generica, per esempio $(0,-u,-2u)$, con un qualsiasi punto appartenente all'asse $x$, per semplicitaà $(0,0,0)$.
Come hai notato, una delle soluzioni è proprio $u=0$. Non puoi scartarla: del resto, una retta per $u=0$ è stata determinata, l'asse $z$, evidentemente complanare all'asse $x$.
$[(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)]$ se $u!=0 ^^ u!=4/3$
Quando un denominatore si annulla, la regola "pratica" per non perdere un'equazione, ma facilmente dimostrabile, è di porre uguale a zero il corrispondente numeratore. Quindi:
$\{(x=0),(y=0):}$ se $u=0$ (in quanto si annullano i primi due denominatori)
$\{(z+8/3=0),(x/(4/3)=(y+4/3)/(8/3)):} rarr \{(3z+8=0),(6x-3y-4=0):}$ se $u=4/3$ (in quanto si annulla il terzo denominatore)
Questa discussione è necessaria, anche perchè un'eventuale retta da determinarsi in un punto successivo, potrebbe coincidere proprio con una di queste due. Inoltre, non è che per $u=0$ o per $u=4/3$ la retta non esista, si tratta di determinarla con maggiore accuratezza.
Per quanto riguarda il secondo punto, il procedimento è corretto, anche se andrebbe argomentato con maggiore chiarezza. Per dimostrare che la nostra retta generica e l'asse $x$ sono complanari, puoi dimostrare che i seguenti $3$ vettori sono linearmente dipendenti:
1. Un vettore nella direzione della retta generica: $(u,2u,3u-4)$.
2. Un vettore nella direzione dell'asse $x$: $(1,0,0)$.
3. Un vettore $(0,u,2u)$, differenza di punti, ottenuto congiungendo un qualsiasi punto della retta generica, per esempio $(0,-u,-2u)$, con un qualsiasi punto appartenente all'asse $x$, per semplicitaà $(0,0,0)$.
Come hai notato, una delle soluzioni è proprio $u=0$. Non puoi scartarla: del resto, una retta per $u=0$ è stata determinata, l'asse $z$, evidentemente complanare all'asse $x$.
Ciao.
Sicuramente la seconda parte va argomentata come hai detto tu (la spiegazione del professore è simile, anzi uguale ad un certo punto). Inoltre ho capito ho capito l'importanza della discussione, cioè del ricavare le due rette:
Però non riesco a capire il come trovare queste due rette (non il perché). Sinceramente non mi è mai capitato di utilizzare questo metodo del "numeratore = 0" per non "mangiarsi" delle equazioni
Sicuramente la seconda parte va argomentata come hai detto tu (la spiegazione del professore è simile, anzi uguale ad un certo punto). Inoltre ho capito ho capito l'importanza della discussione, cioè del ricavare le due rette:
Come hai notato, una delle soluzioni è proprio u=0. Non puoi scartarla: del resto, una retta per u=0 è stata determinata, l'asse z, evidentemente complanare all'asse x.
Però non riesco a capire il come trovare queste due rette (non il perché). Sinceramente non mi è mai capitato di utilizzare questo metodo del "numeratore = 0" per non "mangiarsi" delle equazioni
"brownbetty":
Però non riesco a capire il come trovare queste due rette (non il perché).
Non ho capito, non riesci a ricavarle "materialmente"?
"speculor":
[quote="brownbetty"]
Però non riesco a capire il come trovare queste due rette (non il perché).
Non ho capito, non riesci a ricavarle "materialmente"?[/quote]
Si
Prima ti faccio $2$ esempi.
1. Supponiamo tu debba calcolare la retta passante per i punti $A(3,5,2)$ e $B(3,7,2)$. Se, prima di applicare il metodo "forza bruta", osservi che i $2$ punti hanno la medesima ascissa e la medesima quota, è evidente che l'equazione della retta risulta essere:
$\{(x=3),(z=2):}$
Applicando il metodo "forza bruta" avresti ottenuto:
$(x-3)/0=(y-5)/2=(z-2)/0$
Utilizzando la regola "pratica", sai che l'equazione della retta si ottiene annullando i numeratori delle frazioni che perdono di significato:
$\{(x=3),(z=2):}$
2. Supponiamo tu debba calcolare la retta passante per i punti $A(3,5,2)$ e $B(3,7,8)$. Se, prima di applicare il metodo "forza bruta", osservi che i $2$ punti hanno la medesima ascissa, è evidente che una delle due equazioni è banale mentre l'altra si ricava come al solito:
$\{(x=3),((y-5)/2=(z-2)/6):}$
Applicando il metodo "forza bruta" avresti ottenuto:
$(x-3)/0=(y-5)/2=(z-2)/6$
Utilizzando la regola "pratica", sai che una delle due equazioni si ottiene annullando il numeratore delle frazione che perde di significato mentre l'altra risulta ancora disponibile:
$\{(x=3),((y-5)/2=(z-2)/6):}$
Tornando al tuo esercizio e considerando il caso $u=0$, si ha:
$[(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)] rarr [x/0=y/0=z/(-4)]$
Ora non fai altro che procedere come negli esempi che ti ho proposto, quello dove si annullano due denominatori:
$\{(x=0),(y=0):}$
Prova tu per $u=4/3$. Probabilmente dimenticavi di sostituire il valore del parametro $u$ che stavi considerando.
1. Supponiamo tu debba calcolare la retta passante per i punti $A(3,5,2)$ e $B(3,7,2)$. Se, prima di applicare il metodo "forza bruta", osservi che i $2$ punti hanno la medesima ascissa e la medesima quota, è evidente che l'equazione della retta risulta essere:
$\{(x=3),(z=2):}$
Applicando il metodo "forza bruta" avresti ottenuto:
$(x-3)/0=(y-5)/2=(z-2)/0$
Utilizzando la regola "pratica", sai che l'equazione della retta si ottiene annullando i numeratori delle frazioni che perdono di significato:
$\{(x=3),(z=2):}$
2. Supponiamo tu debba calcolare la retta passante per i punti $A(3,5,2)$ e $B(3,7,8)$. Se, prima di applicare il metodo "forza bruta", osservi che i $2$ punti hanno la medesima ascissa, è evidente che una delle due equazioni è banale mentre l'altra si ricava come al solito:
$\{(x=3),((y-5)/2=(z-2)/6):}$
Applicando il metodo "forza bruta" avresti ottenuto:
$(x-3)/0=(y-5)/2=(z-2)/6$
Utilizzando la regola "pratica", sai che una delle due equazioni si ottiene annullando il numeratore delle frazione che perde di significato mentre l'altra risulta ancora disponibile:
$\{(x=3),((y-5)/2=(z-2)/6):}$
Tornando al tuo esercizio e considerando il caso $u=0$, si ha:
$[(x-0)/u=(y+u)/(2u)=(z+2u)/(3u-4)] rarr [x/0=y/0=z/(-4)]$
Ora non fai altro che procedere come negli esempi che ti ho proposto, quello dove si annullano due denominatori:
$\{(x=0),(y=0):}$
Prova tu per $u=4/3$. Probabilmente dimenticavi di sostituire il valore del parametro $u$ che stavi considerando.
Ecco, ora il procedimento è più chiaro 
Ti ringrazio di tutto
Ti ringrazio di tutto
Un'ultima cosa.
I due esempi che hai scritto, non costituiscono tale dimostrazione ? Se si (e se ti va) potresti indicarmela ?
Quando un denominatore si annulla, la regola "pratica" per non perdere un'equazione, ma facilmente dimostrabile, è di porre uguale a zero il corrispondente numeratore.
I due esempi che hai scritto, non costituiscono tale dimostrazione ? Se si (e se ti va) potresti indicarmela ?
"brownbetty":
I due esempi che hai scritto, non costituiscono tale dimostrazione?
Certamente sì.
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