Esercizio di geometria

[indovina]

Ho questo quesito di geometria e alla base di quello che so vorrei sapere se va bene o meno:
date due rette:
$x=y=t$ s)
r)
$x-y+2z+2=0$
$x-2y-2z=0$

a) Determinare il punto $P$ di $s$ per $t = 2$
Quindi: $P(1,1,1)$

b)si determini il piano $alpha$ contenente $P$ e $r$
ho fatto uso di questo metodo:
$gamma (x-y+2z+2) + beta (x-2y-2z) =0$
Passaggio per P:
$gamma (1-1+2+2) + beta (1-2-2)=0$
$4 gamma – 3 beta=0$
$gamma = 3 / 4 beta$
Quindi:
$3 (x-y+2z+2) + 4 (x-2y-2z) =0$
$ 7x – 11y – 2z + 6 = 0$

C ) si determini la retta $u$ contenuta in $alpha$ perpendicolare ad $r$ ed incidente $s$
Trovo il vettore direttore della retta $r$
$D_r = (6,4,-1)$
$(a,b,c)$ parametri direttori della retta $u$
Condizione di perpendicolarità:
$6 a + 4 b – c = 0$
$c = 6 a + 4 b$
$D_u = ( a , b , 6 a + 4 b )$
Condizione di complanarità con il piano:
$((a,b, 6 a + 4 b),(1,1,2),(0,0,5)) = 0$

Dove $(1,1,2)$ e $(0,0,5)$ sono i vettori di giacitura nel piano.
Calcolando il determinante viene una relazione del tipo:
$a = - 9 b$
Ma manca ancora la condizione di intersezione con $s$

Non so se fin qui è fatto bene, forse c’è un metodo più veloce e pulito?
grazie

[weblan]

"clever":Ho questo quesito di geometria e alla base di quello che so vorrei sapere se va bene o meno:
date due rette:
$x=y=t$ s)

Sei sicuro che questa è la retta!

[indovina]

Scusa svista nella scrittura
la retta è:
$ x=y=z=t$

[weblan]

Ora mi preme risponderti, ho visto velocemente il resto e mi pare fatto bene. Mi riservo di controllare e poi ti darò una risposta definitiva. Intanto tu devi rifare i calcoli perchè se la retta ha equazione $\{(x=t),(y=t),(z = t):}$ e ti dice di determinare il punto della retta per $t=2$ e tu hai scritto $P(1,1,1)$ invece di $P(2,2,2)$, ovvio hai preso una svista mettendo i parametri direttori della retta al posto del punto.

[indovina]

Quindi banalmente bisogna mettere $2$ dove vi erano i $t$ e basta.
Però qualsiasi multiplo di $(1,1,1)$ è generatore della retta $s$ giusto?

[weblan]

Certo $P(2,2,2)$, mentre i parametri direttori della retta sono $(1,1,1)$ o una qualsiasi terna non nulla proporzionale ad essa.