Esercizio di Geometria
Fissato un riferimento cartesiano nello spazio si considerino la retta
${(x-1),(y+z):}$ e la retta $s$ passante per i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,1,-1)$.
a)Dire se le rette $r$ ed $s$ sono complanari.
b)Rappresentare la retta passante per l’origine,ortogonale ed incidente la retta $r$.
c)Rappresentare il piano passante per l’origine e parallelo sia ad $r$ che ad $s$.
d)Rappresentare la retta passante per l’origine complanare sia con la retta $r$ che con la retta $s$.
a)
La retta $s$ può essere così rappresentata:
$s:{(x=1-t),(y=1),(z=1+2t):}$
in forma cartesiana:
${(y-1=0),(2x+z-3=0):}$.
Le rette $r$ ed $s$ non sono complanari:
${(x-1=0),(y+z=0),(y-1=0),(2x+z-3=0):}$
poiché il sistema ha rango 3 cioè $rho(A)=3$.
b)
I parametri direttori della retta $r$ sono:$(0,-1,1)$.
$l’(0)+m’(-1)+n’(1)=-m’+n’$
Quindi una retta ortogonale ad $r$ avrà parametri direttori
$(0,1,1)$ cioè:
$r’: {(x=0),(y=t),(z=t)}$ che in forma cartesiana risulta $r’:{(x=0),(y-z=0):}$.
Ora vedo se è incidente con la retta $r$:
${(x-1),(y+z),(x=0),(y-z=0):}$.Poichè il sistema ha rango $3$ allora la retta cercata è:
$r’:{(x=0),(y-z=0):}$.
Gli altri due punti li ho svolti ma credo che siano sbagliati qualcuno sa risolverli e potrebbe confermarmi i primi due??
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà…..
${(x-1),(y+z):}$ e la retta $s$ passante per i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,1,-1)$.
a)Dire se le rette $r$ ed $s$ sono complanari.
b)Rappresentare la retta passante per l’origine,ortogonale ed incidente la retta $r$.
c)Rappresentare il piano passante per l’origine e parallelo sia ad $r$ che ad $s$.
d)Rappresentare la retta passante per l’origine complanare sia con la retta $r$ che con la retta $s$.
a)
La retta $s$ può essere così rappresentata:
$s:{(x=1-t),(y=1),(z=1+2t):}$
in forma cartesiana:
${(y-1=0),(2x+z-3=0):}$.
Le rette $r$ ed $s$ non sono complanari:
${(x-1=0),(y+z=0),(y-1=0),(2x+z-3=0):}$
poiché il sistema ha rango 3 cioè $rho(A)=3$.
b)
I parametri direttori della retta $r$ sono:$(0,-1,1)$.
$l’(0)+m’(-1)+n’(1)=-m’+n’$
Quindi una retta ortogonale ad $r$ avrà parametri direttori
$(0,1,1)$ cioè:
$r’: {(x=0),(y=t),(z=t)}$ che in forma cartesiana risulta $r’:{(x=0),(y-z=0):}$.
Ora vedo se è incidente con la retta $r$:
${(x-1),(y+z),(x=0),(y-z=0):}$.Poichè il sistema ha rango $3$ allora la retta cercata è:
$r’:{(x=0),(y-z=0):}$.
Gli altri due punti li ho svolti ma credo che siano sbagliati qualcuno sa risolverli e potrebbe confermarmi i primi due??
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà…..
Risposte
Per favore potete aiutarmi negli ultimi due punti....
c) Il generico piano passante per l'origine e' $ax+by+cz=0$ e la normale
ad esso ha $(a,b,c)$ come vettore direzionale.Pertanto ,in base alla traccia e tenuto conto
che i vettori direzionali di r ed s sono rispettivamente $(0,-1,1) ,(-1,0,2)$ ,deve essere:
${(0*a-1*b+1*c=0),(-1*a+0*b+2*c=0):}$
da cui si trae $a=2c,b=c$ e dunque l'equazione del piano richiesto e':
$2x+y+z=0$
d)La retta richiesta e' l'intersezione del piano $alpha$ passante per O e per r
con il piano $beta$ passante per O e per s.
Ora il generico piano contenente la retta r ha equazione:
$lambda(x-1)+mu(y+z)=0$ ed imponendo il passaggio per O si trova $lambda=0$
Pertanto l'equazione di $alpha$ e' :
$y+z=0$
Analogamente ,il generico piano passante per s e':
$lambda(y-1)+mu(2x+z-3)=0$ ed imponendo il passaggio per O si trova:
$lambda=-3mu$ e quindi l'equazione di $beta$ e' $2x-3y+z=0$.
Riassumendo ,le equazioni della retta richiesta sono date dal sistema:
${(y+z=0),(2x-3y+z=0):}$
karl
ad esso ha $(a,b,c)$ come vettore direzionale.Pertanto ,in base alla traccia e tenuto conto
che i vettori direzionali di r ed s sono rispettivamente $(0,-1,1) ,(-1,0,2)$ ,deve essere:
${(0*a-1*b+1*c=0),(-1*a+0*b+2*c=0):}$
da cui si trae $a=2c,b=c$ e dunque l'equazione del piano richiesto e':
$2x+y+z=0$
d)La retta richiesta e' l'intersezione del piano $alpha$ passante per O e per r
con il piano $beta$ passante per O e per s.
Ora il generico piano contenente la retta r ha equazione:
$lambda(x-1)+mu(y+z)=0$ ed imponendo il passaggio per O si trova $lambda=0$
Pertanto l'equazione di $alpha$ e' :
$y+z=0$
Analogamente ,il generico piano passante per s e':
$lambda(y-1)+mu(2x+z-3)=0$ ed imponendo il passaggio per O si trova:
$lambda=-3mu$ e quindi l'equazione di $beta$ e' $2x-3y+z=0$.
Riassumendo ,le equazioni della retta richiesta sono date dal sistema:
${(y+z=0),(2x-3y+z=0):}$
karl
E per quanto riguarda i punti a e b sono fatti bene??
@Aristotele
Il punto (a) si trova ;il punto (b) sembra errato.Basta osservare che
la retta r giace nel piano x=1 mentre la retta da te trovata sta nel piano x=0
Poiche' questi due piani sono paralleli le rette trovate non possono incidere come richiesto
dalla traccia.
Io farei così.
Il punto generico di r e' P(1,t,-t) e la retta u che lo congiunge con l'origine O ha equazioni:
$x/1=y/t=z/(-t)$
Poiche u deve essere ortogonale ad r ,si ha che:
$1*0+t*(-1)-t*1=0$ da cui $t=0$
Pertanto la retta in questione e' la congiungente i punti O(0,0,0) e P(1,0,0) , ovvero e'
l'asse delle x di equazioni:
${(y=0),(z=0):}$
karl
Il punto (a) si trova ;il punto (b) sembra errato.Basta osservare che
la retta r giace nel piano x=1 mentre la retta da te trovata sta nel piano x=0
Poiche' questi due piani sono paralleli le rette trovate non possono incidere come richiesto
dalla traccia.
Io farei così.
Il punto generico di r e' P(1,t,-t) e la retta u che lo congiunge con l'origine O ha equazioni:
$x/1=y/t=z/(-t)$
Poiche u deve essere ortogonale ad r ,si ha che:
$1*0+t*(-1)-t*1=0$ da cui $t=0$
Pertanto la retta in questione e' la congiungente i punti O(0,0,0) e P(1,0,0) , ovvero e'
l'asse delle x di equazioni:
${(y=0),(z=0):}$
karl
Fissato un riferimento cartesiano nello spazio si considerino la retta
$r$ passante per i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,1,-1)$.
Determinare il piano contenente la retta $r$ e ortogonale al piano $alpha$
Essendo $(1,0,-2)$ i parametri direttori della retta $r$ allora(chiamo il piano da trovare $beta$)per $r$ contenuta in $beta$ significa che la retta è parallela ma è contenuta in $beta$ e perciò:
$(a,b,c)*(1,0,-2)=a-2c=0$
inoltre il nostro piano $beta$ è ortogonale al piano $alpha$ quindi:
$(a,b,c)*(2,1,-1)=2a+b-c=0$
Mettendo a sistema ricaviamo i coefficienti dell’equazione del nostro piano $beta$:
${(a-2c=0),( 2a+b-c=0):}$
che risultano
$(a=2c),(b=-3c):}$
dunque
$(2,-3,1)$
$2x-3y+z=0$ è l’equazione del piano cercato $beta$.
La cosa che non mi torna all’interno della traccia è che questo piano che io ho chiamato $beta$ non passa per nessun punto??ho lasciato $d$ incognito..Oppure è sottointeso che passa per l’origine quindi $d=0$.
Per favore aiutatemi!
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà…..
$r$ passante per i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,1,-1)$.
Determinare il piano contenente la retta $r$ e ortogonale al piano $alpha$
Essendo $(1,0,-2)$ i parametri direttori della retta $r$ allora(chiamo il piano da trovare $beta$)per $r$ contenuta in $beta$ significa che la retta è parallela ma è contenuta in $beta$ e perciò:
$(a,b,c)*(1,0,-2)=a-2c=0$
inoltre il nostro piano $beta$ è ortogonale al piano $alpha$ quindi:
$(a,b,c)*(2,1,-1)=2a+b-c=0$
Mettendo a sistema ricaviamo i coefficienti dell’equazione del nostro piano $beta$:
${(a-2c=0),( 2a+b-c=0):}$
che risultano
$(a=2c),(b=-3c):}$
dunque
$(2,-3,1)$
$2x-3y+z=0$ è l’equazione del piano cercato $beta$.
La cosa che non mi torna all’interno della traccia è che questo piano che io ho chiamato $beta$ non passa per nessun punto??ho lasciato $d$ incognito..Oppure è sottointeso che passa per l’origine quindi $d=0$.
Per favore aiutatemi!
Ringrazio anticipatamente chi mi risponderà…..
Non si capisce chi e' il piano alfa.
karl
karl
"karl":
Non si capisce chi e' il piano alfa.
karl
Che stupido ho dimenticato di metterlo allora è $alpha:2x+y-z=1$
"Aristotele":
[quote="karl"]Non si capisce chi e' il piano alfa.
karl
Che stupido ho dimenticato di metterlo allora è $alpha:2x+y-z=1$[/quote]
E quindi il piano mio giustamente sarà questo:
$2x-3y+z-1=0$
Giusto??
Il piano cercato non e' 2x-3y+z-1=0:basta osservare che esso non passa
ne' per A ne' per B ,come e' al contrario richiesto.
Il piano ,invece,e' proprio quello da te indicato in precedenza:2x-3y+z=0.
Occorre pero' correggere la parte finale del tuo ragionamento,laddove poni
d=0 supponendo (arbitrariamente) che passi per l'origine.
Una volta determinato che a=2c,b=-3c ,il piano in questione avra' equazione:
2x-3y+z+d=0
Imponendo ora che esso piano passi per A ( o per B) si ha appunto:
2-3+1+d=0-->d=0
karl
ne' per A ne' per B ,come e' al contrario richiesto.
Il piano ,invece,e' proprio quello da te indicato in precedenza:2x-3y+z=0.
Occorre pero' correggere la parte finale del tuo ragionamento,laddove poni
d=0 supponendo (arbitrariamente) che passi per l'origine.
Una volta determinato che a=2c,b=-3c ,il piano in questione avra' equazione:
2x-3y+z+d=0
Imponendo ora che esso piano passi per A ( o per B) si ha appunto:
2-3+1+d=0-->d=0
karl
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo