ESERCIZIO DI GEOMETRIA
Ragazzi ho avuto difficoltà a svolgere questo esercizio qualcuno può darmi una mano??
Si considerino le rette r: x+y+z=x+y+2z+1=0 ed s:(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,1,3);
i)determinare la posizione reciproca delle rette r ed s;
ii)rappresentare il piano per P(-1,2,1) parallelo ad r e ad s;
Che si intende per posizione reciproca???
Grazie anticipatamente a chi mi risponderà...!!!
Si considerino le rette r: x+y+z=x+y+2z+1=0 ed s:(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,1,3);
i)determinare la posizione reciproca delle rette r ed s;
ii)rappresentare il piano per P(-1,2,1) parallelo ad r e ad s;
Che si intende per posizione reciproca???
Grazie anticipatamente a chi mi risponderà...!!!
Risposte
i) La retta r si può parametrizzare così:
${(x=t),(y=1-t),(z=-1):}
ovvero r è la retta di equazioni parametriche:
$(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,-1,0)
Allora, per vedere la posizione reciproca,
intanto osserviamo che passano entrambe
per lo stesso punto, cioè $(0,1,-1)$, e poi sono
anche perpendicolari, in quanto lo sono
i loro vettori direzionali. Infatti, il prodotto
scalare tra i vettori direzionali delle due rette è
nullo, e questo significa che i due vettori
sono ortogonali, ovvero le due rette sono ortogonali.
${(x=t),(y=1-t),(z=-1):}
ovvero r è la retta di equazioni parametriche:
$(x,y,z)=(0,1,-1)+t(1,-1,0)
Allora, per vedere la posizione reciproca,
intanto osserviamo che passano entrambe
per lo stesso punto, cioè $(0,1,-1)$, e poi sono
anche perpendicolari, in quanto lo sono
i loro vettori direzionali. Infatti, il prodotto
scalare tra i vettori direzionali delle due rette è
nullo, e questo significa che i due vettori
sono ortogonali, ovvero le due rette sono ortogonali.
ii) Il piano parallelo alle due rette e passante per P
è quello parallelo ai vettori direzionali delle due
rette e passante per P. Le sue equazioni parametriche sono allora:
${(x= -1+s+v),(y=2+s-v),(z=1+3s):}
ed eliminando i due parametri $s$ e $v$ si ottiene l'eq. cartesiana:
$3x+3y-2z-1=0$.
è quello parallelo ai vettori direzionali delle due
rette e passante per P. Le sue equazioni parametriche sono allora:
${(x= -1+s+v),(y=2+s-v),(z=1+3s):}
ed eliminando i due parametri $s$ e $v$ si ottiene l'eq. cartesiana:
$3x+3y-2z-1=0$.
Scusa, ma l'equazione del piano mi sembra errata...dovrebbe risultare: $3x+3y-2z-5=0$.
Ciao
Alexp
Ciao
Alexp
Avrò fatto errori di calcolo... Quel che però
conta è che le equazioni parametriche del piano siano corrette.
conta è che le equazioni parametriche del piano siano corrette.
Hai dimenticato il segno "-" nella parametrizzazione di z......z=-1+3s
Ma no... Il punto per cui il piano deve passare
è $P=(-1,2,1)$, quindi è giusto...
è $P=(-1,2,1)$, quindi è giusto...
Ah...scusa pensavo che il punto fosse (0,1,-1)
No, quello è il punto per cui passano entrambe le rette r ed s...
scusa una cosa.....come le ricavi le formule parametriche?
Il piano è parallelo ai vettori direzionali
delle due rette e passa per il punto P,
perciò è un sottospazio di $RR^3$ di dimensione 2,
chiamiamolo $V$, e si ha:
$V="span"{(1,1,3),(1,-1,0)}
SE QUESTO PIANO PASSA PER L'ORIGINE;
per cui esiste una coppia $(t,s) in RR^2$
tale che un generico punto del piano
(o un vettore che punta ad esso,
con primo estremo nell'origine)
si scriva come...
$(x,y,z)=t(1,1,3)+s(1,-1,0)
Però questo piano passa per l'origine,
e noi vogliamo che passi per P, per cui
bisognerà operare una traslazione di vettore
$(-1,2-1)$ e si hanno finalmente le equazioni:
$(x,y,x)=(-1,2-1)+t(1,1,3)+s(1,-1,0)
delle due rette e passa per il punto P,
perciò è un sottospazio di $RR^3$ di dimensione 2,
chiamiamolo $V$, e si ha:
$V="span"{(1,1,3),(1,-1,0)}
SE QUESTO PIANO PASSA PER L'ORIGINE;
per cui esiste una coppia $(t,s) in RR^2$
tale che un generico punto del piano
(o un vettore che punta ad esso,
con primo estremo nell'origine)
si scriva come...
$(x,y,z)=t(1,1,3)+s(1,-1,0)
Però questo piano passa per l'origine,
e noi vogliamo che passi per P, per cui
bisognerà operare una traslazione di vettore
$(-1,2-1)$ e si hanno finalmente le equazioni:
$(x,y,x)=(-1,2-1)+t(1,1,3)+s(1,-1,0)
Ahhh......si che stupido, $(x,y,z)=t(1,1,3)+s(1,-1,0)$ sarebbe un'applicazione lineare dei due vettori per determinarne un terzo qualsiasi, poi si trasla il tutto, giusto?
Sì.
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