Esercizio di geometria

[astridsofiafiorentino]

come faccio a determinare le equazioni parametriche attraverso questa retta?
$ { ( 3x-y+2z+1=0 ),( y-4z-3=0 ):} $
non ho idea, sono impallatissima! dovrei trovare un punto prima e poi ricavare la parametrica? Potresti spiegarmelo, per favore?

[vict85]

Senza dubbio devi trovare un punto. Per quando riguarda la direzione puoi usare il fatto che \(\displaystyle \mathbf{v}_1 = (3,-1,2) \) e \(\displaystyle \mathbf{v}_2 = (0,-4,-3) \) sono perpendicolari ai due piani dati e quindi che \(\displaystyle \mathbf{v}_1\times \mathbf{v}_2 \) è parallelo ad entrambi i piani. In altre parole è il vettore direzione che stai cercando .

Per trovare il punto puoi quindi porre \(\displaystyle z = 0 \) ricavando \(\displaystyle y = 3 \) dalla seconda equazione e infine \(\displaystyle x = \frac23 \) dalla prima.

Alternativamente il determinante \(\displaystyle \det \begin{pmatrix}3 & -1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = 3 - 0 = 3\neq 0 \) e quindi puoi usare \(\displaystyle z \) come un parametro e ricavare un sistema quadrato \(\displaystyle 2\times 2 \). A questo punto puoi trovare l'equazione parametrica usando questo sistema.

Equivalentemente puoi risolvere il sistema \[\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ t\end{pmatrix}\] che è equivalentemente al secondo metodo.