Esercizio di geometria

[Francescino1]

Ciao a tutti, volevo chiedere se la mia risoluzione di questo esercizio è giusta:

Si provi che le rette

$r:{(x=z),(y=z):}

r':{(x=2z+1),(y=-z+2):}$

sono sghembe.
Si trovi un piano $pi$ che sia parallelo ad r e che contenga r'.

Allora io ho pensato di risolverlo cosi:
Mi calcolo il parametro direttore della retta r che vengono
$((1,0,-1),(0,1,-1))$
e quindi
$z =alpha$
$y=alpha$
$x=alpha$
da cui il parametro direttore è $alfa*((1),(1),(1))$
per r' viene:
$((1,0,-2,-1),(0,1,1,-2))$
e quindi
$z=lambda$
$y=-lambda-2$
$x=2lambda-1$
da il parametro direttore è $lambda*((2),(-1),(1))$

Ora visto che i 2 parametri direttori non sono uno multiplo dell'altro e il loro prodotto scalare è diverso da 0 le 2 rette sono sghembe. Giusto?
Per la seconda parte dell'esercizio invece bisogna trovare un piano che sia parallelo ad r e contenga r' quindi posso usare i parametri direttori delle rette nell'equazione del piano? Cioè fare
$((x),(y),(z))=v_0+s*((2),(-1),(1))+t*((1),(1),(1))$ è corretto?

[Demostene92]

La prima parte mi sembra corretta. Per la seconda potresti ragionare così: il piano deve contenere $r'$ e deve essere parallelo a $r$. Quindi il suo vettore ortogonale deve essere ortogonale ai vettori direzionali di entrambe le rette. Ma allora questo vettore, chiamiamolo $\bbu$ sarà dato dal prodotto vettoriale tra i due vettori, cioè:

$\bbu=|(\bbe_1,\bbe_2,\bbe_3), (1,1,1), (2,-1,1)|=(2,1,-3)$.

Il piano assumerà quindi la forma $\pi: 2x+y-3z+d=0$. Per trovare $d$, è sufficiente osservare che la retta che deve essere contenuta nel piano, passa per il punto $(1,2,0)$, quindi imponendo la condizione di passaggio per tale punto hai: $2+2+d=0->d=-4$. Allora il piano cercato sarà in definitiva:

$\pi: 2x+y-3z=4$.

[Francescino1]

Grazie mille per la tua risposta!!