Esercizio di esame (geometria) solo da controllare
Ho fatto un esercizio tipo esame, potete dirmi se ci sono errori o simili? Grazie.
Ecco il testo piu il mio svolgimento:
dato il piano: $Pi$ $x+y-z+1=0$
data la retta: ${(x=t);(y=-t);(z=1+t)}$
1) detto $A$ il punto comune ad $r$ e $pi$, si rappresenti la retta $s$ per $A$ contenuta in $pi$ e ortogonale ad $r$.
forma cartesiana di r
${(x+y=0);(x-z+1=0)}$
trovo $A$
${(x+y=0);(x-z+1=0);(x+y-z+1=0)}$
${(x=-y);(-y-z+1=0);(-y+y-z+1=0)}$
${(x=-y=0);(y=-z+1=0);(z=1)}$
$A(0,0,1)$
controllo se $A$ sta sia sulla retta sia sul piano.
2) si rappresenti la retta $s$ per $A$ contenuta in $pi$ e ortogonale ad $r$.
il vettore direttore di $r$ è $V_r=(1,-1,1)$
sarà:
$(1,-1,1)*(l,m,n)=0$
$l-m+n=0$
$m=l+n$
allora viene:
${(x=alpha);(y=alpha);(z=1+2alpha)}$
forma cartesiana:
${(x-y=0);(2x-z+1=0)}$
è contenuta in $pi$.
Ecco il testo piu il mio svolgimento:
dato il piano: $Pi$ $x+y-z+1=0$
data la retta: ${(x=t);(y=-t);(z=1+t)}$
1) detto $A$ il punto comune ad $r$ e $pi$, si rappresenti la retta $s$ per $A$ contenuta in $pi$ e ortogonale ad $r$.
forma cartesiana di r
${(x+y=0);(x-z+1=0)}$
trovo $A$
${(x+y=0);(x-z+1=0);(x+y-z+1=0)}$
${(x=-y);(-y-z+1=0);(-y+y-z+1=0)}$
${(x=-y=0);(y=-z+1=0);(z=1)}$
$A(0,0,1)$
controllo se $A$ sta sia sulla retta sia sul piano.
2) si rappresenti la retta $s$ per $A$ contenuta in $pi$ e ortogonale ad $r$.
il vettore direttore di $r$ è $V_r=(1,-1,1)$
sarà:
$(1,-1,1)*(l,m,n)=0$
$l-m+n=0$
$m=l+n$
allora viene:
${(x=alpha);(y=alpha);(z=1+2alpha)}$
forma cartesiana:
${(x-y=0);(2x-z+1=0)}$
è contenuta in $pi$.
Risposte
"clever":
...
allora viene:
${(x=alpha);(y=alpha);(z=1+2alpha)}$
forma cartesiana:
${(x-y=0);(2x-z+1=0)}$
è contenuta in $pi$.
Tutto ok, fino al punto quotato.
Dopo non ho capito cosa hai fatto. Hai calcolato che il vettore direttore della retta $s$ che cerchi è $(l,l+n,n)$.
Poi, leggo che hai preso la retta
${(x=alpha),(y=alpha),(z=1+2alpha):}$
cioè hai preso il vettore direttore pari $(1,1,2)$. E credo che ci sia un errore, lo vedi?
Vero, stupido errore.
il vettore direttore di $s$ dovrebbe essere: $(1,2,1)$
e la retta:
${(x=alpha),(y=2alpha),(z=1+alpha):}$
in forma cartesiana è:
${(2x-y=0),(x-z+1=0):}$
è questa quella retta $s$ contenuta in $pi$
credo ora vada meglio.
il vettore direttore di $s$ dovrebbe essere: $(1,2,1)$
e la retta:
${(x=alpha),(y=2alpha),(z=1+alpha):}$
in forma cartesiana è:
${(2x-y=0),(x-z+1=0):}$
è questa quella retta $s$ contenuta in $pi$
credo ora vada meglio.
Purtroppo non ci siamo ancora, perchè non puoi scegliere arbitrariamente $l$ ed $n$.
Infatti è vero che il vettore $(l,l+n,n)$ è sempre ortogonale al vettore della retta $r$, ma non è in generale contenuto nello spazio direttore di $pi$.
Questo fa sì che la retta che consideri non sia in generale contenuta in $pi$.
Il risultato che hai ottenuto non è giusto, perchè $s$ non è contenuta in $pi$. (Il punto di coordinate $(1,2,2)$ appartiene ad $s$ ma non appartiene a $pi$).
Per ottenere $(l,l+n,n)$, devi imporre che sia contenuto nel piano direttore di $pi$ o equivalentemente puoi imporre che sia ortogonale al vettore $(1,1,-1)$ normale a $pi$.
Infatti è vero che il vettore $(l,l+n,n)$ è sempre ortogonale al vettore della retta $r$, ma non è in generale contenuto nello spazio direttore di $pi$.
Questo fa sì che la retta che consideri non sia in generale contenuta in $pi$.
Il risultato che hai ottenuto non è giusto, perchè $s$ non è contenuta in $pi$. (Il punto di coordinate $(1,2,2)$ appartiene ad $s$ ma non appartiene a $pi$).
Per ottenere $(l,l+n,n)$, devi imporre che sia contenuto nel piano direttore di $pi$ o equivalentemente puoi imporre che sia ortogonale al vettore $(1,1,-1)$ normale a $pi$.
scelgo di imporre che $(l,l+n,n)$ sia ortogonale al vettore $(1,1,-1)$
$(l,l+n,n)*(1,1,-1)=0$
$l+l+n-n=0$
$l=0$
viene: $(0,n,n)$
a questo punto posso dire che il vettore direttore è: $(0,1,1)$
e la retta è: ${(x=0),(y-z+1=0):}$
perchè se metto $x=0$ viene un piano $y-z+1=0$
ora? è giusto?
grazie per i suggerimenti.
$(l,l+n,n)*(1,1,-1)=0$
$l+l+n-n=0$
$l=0$
viene: $(0,n,n)$
a questo punto posso dire che il vettore direttore è: $(0,1,1)$
e la retta è: ${(x=0),(y-z+1=0):}$
perchè se metto $x=0$ viene un piano $y-z+1=0$
ora? è giusto?
grazie per i suggerimenti.
Ok. La retta cercata è ${(x=0),(y-z+1=0):}$
Esercizio concluso
Esercizio concluso
Grazie per l'attenzione a questo post.
Purtroppo l'esercizio non finiva qui.
Ci sono altre due domande.
Incomincio con la seconda.
2) Si rappresenta il piano contenente le rette $r$ e $s$
Io ho fatto così:
punto su $r$: $(0,0,1)$
punto su $s$: $(0,1,0)$
piano contenente $r$ e $s$: $P=P_r+alphaP_s+beta(P_r-P_s)$
${(x=0),(y=alpha-beta),(z=1+beta):}$
che diventa:
$x-y-z+1+alpha=0$
ora rimane un $alpha$ come lo determino? facendo passare nuovamente un punto delle due rette?
Purtroppo l'esercizio non finiva qui.
Ci sono altre due domande.
Incomincio con la seconda.
2) Si rappresenta il piano contenente le rette $r$ e $s$
Io ho fatto così:
punto su $r$: $(0,0,1)$
punto su $s$: $(0,1,0)$
piano contenente $r$ e $s$: $P=P_r+alphaP_s+beta(P_r-P_s)$
${(x=0),(y=alpha-beta),(z=1+beta):}$
che diventa:
$x-y-z+1+alpha=0$
ora rimane un $alpha$ come lo determino? facendo passare nuovamente un punto delle due rette?
Innanzitutto attento al punto che hai scelto su $s$.
Credo che tu abbia commesso qualche errore. Il punto che hai scelto non appartiene ad $s$!
Inoltre, vorrei chiederti di spiegare meglio questo:
Sei sicuro di questa formula?
Credo che tu abbia commesso qualche errore anche qui.
Non è possibile che il piano sia identificato solo da quei due punti.
Forse la formula a cui ti riferisci è la seguente?
$P=A+alpha(P_r-A)+beta(P_s-A)$
dove $A$ è l'intersezione fra $r$ ed $s$, $P_r$ e $P_s$ sono due punti su $r$ ed $s$ risp. (distinti da $A$).
Credo che tu abbia commesso qualche errore. Il punto che hai scelto non appartiene ad $s$!
Inoltre, vorrei chiederti di spiegare meglio questo:
"clever":
...
piano contenente $r$ e $s$: $P=P_r+alphaP_s+beta(P_r-P_s)$
...
Sei sicuro di questa formula?
Credo che tu abbia commesso qualche errore anche qui.
Non è possibile che il piano sia identificato solo da quei due punti.
Forse la formula a cui ti riferisci è la seguente?
$P=A+alpha(P_r-A)+beta(P_s-A)$
dove $A$ è l'intersezione fra $r$ ed $s$, $P_r$ e $P_s$ sono due punti su $r$ ed $s$ risp. (distinti da $A$).
Ti cito proprio quello che c'è sul libro del professore per la risoluzione di questo tipo d' esercizio:
'La ricerca dell'equazione del piano che le contiene può essere effettuata nel modo seguente:
si sceglie arbitrariamente un punto su ciascuna retta ad esempio $P_r$ e $P_s$
Il piano contenente $r$ ed $s$ ha equazione:
$P=P_r+alpha(V_r)+beta(P_r-P_s)$'
ora nell'esercizio da cui ho preso questa parte dice che le rette $r$ ed $s$ hanno stesso vettore direttore e $V_r=V_s$
ora mi sorge il dubbio.
In $alpha(V_r)$ nel mio caso devo mettere il vettore direttore di $r$ o di $s$, dato che sono diversi?
:S
'La ricerca dell'equazione del piano che le contiene può essere effettuata nel modo seguente:
si sceglie arbitrariamente un punto su ciascuna retta ad esempio $P_r$ e $P_s$
Il piano contenente $r$ ed $s$ ha equazione:
$P=P_r+alpha(V_r)+beta(P_r-P_s)$'
ora nell'esercizio da cui ho preso questa parte dice che le rette $r$ ed $s$ hanno stesso vettore direttore e $V_r=V_s$
ora mi sorge il dubbio.
In $alpha(V_r)$ nel mio caso devo mettere il vettore direttore di $r$ o di $s$, dato che sono diversi?
:S
Up
Scusa il ritardo. Sono stato un po' impegnato questi giorni.
La formula a cui fai riferimento è giusta. Ma è totalmente diversa da quella che avevi scritto precedentemente!
Il vettore direttore $V_r$ di $r$ è $(1,-1,1)$
Un punto $P_r$ su $r$ ha coordinate $(0,0,1)$.
Un punto $P_s$ su $s$ ha coordinate $(0,-1,0)$.
Quindi il piano contenente $r$ ed $s$ ha equazione
$P=P_r+\alpha V_r+\beta(P_r-P_s)$
cioè
$(x,y,z)=(0,0,1)+\alpha(1,-1,1)+\beta(0,1,1)$
$(x,y,z)=(\alpha,-\alpha+\beta,\alpha+\beta)$
${(x=\alpha),(y=-\alpha+\beta),(z=\alpha+\beta):}$
${(y=-x+\beta),(z=x+\beta):}$
${(\beta=y+x),(z=x+\beta):}$
Il piano cercato (a meno di errori di conto) ha equazione $2x+y-z=0$.
La formula a cui fai riferimento è giusta. Ma è totalmente diversa da quella che avevi scritto precedentemente!
Il vettore direttore $V_r$ di $r$ è $(1,-1,1)$
Un punto $P_r$ su $r$ ha coordinate $(0,0,1)$.
Un punto $P_s$ su $s$ ha coordinate $(0,-1,0)$.
Quindi il piano contenente $r$ ed $s$ ha equazione
$P=P_r+\alpha V_r+\beta(P_r-P_s)$
cioè
$(x,y,z)=(0,0,1)+\alpha(1,-1,1)+\beta(0,1,1)$
$(x,y,z)=(\alpha,-\alpha+\beta,\alpha+\beta)$
${(x=\alpha),(y=-\alpha+\beta),(z=\alpha+\beta):}$
${(y=-x+\beta),(z=x+\beta):}$
${(\beta=y+x),(z=x+\beta):}$
Il piano cercato (a meno di errori di conto) ha equazione $2x+y-z=0$.
Ho rifatto i calcoli e mi trovo con te.
Grazie mille!
Grazie mille!
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