Esercizio di endomorfismo
Buongiorno a tutti!
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non mi sono mai trovata davanti ad un esercizio del genere e quindi non so proprio da cosa iniziare, mi potete dare per caso un piccolo aiuto per aiutarmi a risolverlo?
Questa è la traccia dell'esercizio:
Si considerino l'endomorfismo f di R^3 definito rispetto alla base canonica dalla matrice A= $((-1,0,0),(4,-6,2),(6,-9,3))$ , ed il vettore v=$((3,2,3))$ $in$ R^3. Si determini $f^(-1)$(v).
Grazie davvero
Sto cercando di risolvere un esercizio ma non mi sono mai trovata davanti ad un esercizio del genere e quindi non so proprio da cosa iniziare, mi potete dare per caso un piccolo aiuto per aiutarmi a risolverlo?
Questa è la traccia dell'esercizio:
Si considerino l'endomorfismo f di R^3 definito rispetto alla base canonica dalla matrice A= $((-1,0,0),(4,-6,2),(6,-9,3))$ , ed il vettore v=$((3,2,3))$ $in$ R^3. Si determini $f^(-1)$(v).
Grazie davvero
Risposte
Quello che mi chiedo è:
La matrice che mi viene assegnata è già la matrice associata?
Quindi devo calcolarmi semplicemente l'inversa della matrice e moltiplicarla per il vettore?
mmmmmmm.. ma la matrice ha determinante 0 quindi il mio ragionamento è sbagliato dato che non si può fare l'inversa...
La matrice che mi viene assegnata è già la matrice associata?
Quindi devo calcolarmi semplicemente l'inversa della matrice e moltiplicarla per il vettore?
mmmmmmm.. ma la matrice ha determinante 0 quindi il mio ragionamento è sbagliato dato che non si può fare l'inversa...
La matrice associata rappresenta un endomorfismo no? Determinalo.
Ragioniamo un momento sulla traccia, non ci chiede di determinare l'endomorfismo inverso (se non è bigettivo non esiste) ma la controimmagine di un vettore $v$. determinare la controimmagine di un vettore vuol dire determinare quel vettore $v'$ tale che $f(v')=v$, perciò sapendo come opera $f$ e sapendo quanto "vale" $v$ ti basta risolvere il sistema $f(x,y,z)=(3,2,3)$
Ragioniamo un momento sulla traccia, non ci chiede di determinare l'endomorfismo inverso (se non è bigettivo non esiste) ma la controimmagine di un vettore $v$. determinare la controimmagine di un vettore vuol dire determinare quel vettore $v'$ tale che $f(v')=v$, perciò sapendo come opera $f$ e sapendo quanto "vale" $v$ ti basta risolvere il sistema $f(x,y,z)=(3,2,3)$
mistake come faccio a determinare l'endomorfismo?
Di solito mi trovo davanti esercizi dove mi viene dato ad esempio
f: (x,y,z) = (x,y+3z, x+y-z)
e devo trovare la matrice associata rispetto alle basi canoniche e mi viene già detto che si tratta dell'endomorfismo ad esempio R^3-->R^3
ma qui mi viene data direttamente la matrice associata e non capisco cosa devo fare!
Di solito mi trovo davanti esercizi dove mi viene dato ad esempio
f: (x,y,z) = (x,y+3z, x+y-z)
e devo trovare la matrice associata rispetto alle basi canoniche e mi viene già detto che si tratta dell'endomorfismo ad esempio R^3-->R^3
ma qui mi viene data direttamente la matrice associata e non capisco cosa devo fare!
basta moltiplicare $A((x),(y),(z))$.
Dopo qualche esercizio imparerai facilmente a riconoscerli ad occhio
Dopo qualche esercizio imparerai facilmente a riconoscerli ad occhio
Ma continuo a non capire cosa voglia il problema,
cioè io dovrei moltiplicare la matrice per un generico vettore (x,y,z) e uguagliarla a 0?
quindi, facendo in questo modo,
mi trovo tre equazioni:
x=0
2x-3y+z=0
2x-3y+1=0
e poi f(x,y,z)=$(3,2,3)$
risulta:
3x+2y+3z=0
cosa mi dimostrano tutte queste equazioni?
Grazie mistake
cioè io dovrei moltiplicare la matrice per un generico vettore (x,y,z) e uguagliarla a 0?
quindi, facendo in questo modo,
mi trovo tre equazioni:
x=0
2x-3y+z=0
2x-3y+1=0
e poi f(x,y,z)=$(3,2,3)$
risulta:
3x+2y+3z=0
cosa mi dimostrano tutte queste equazioni?
Grazie mistake
La prima nulla... non capisco da cosa sia uscita infatti! Il mio suggerimento per determinare 'endomorfismo era di moltiplicare la matrice per un vettore generico, non di porlo uguale a $0$
Hai pertanto che $f(x,y,z)=(x,4x-6y+2z,6x-9y+3z)$ e questo è il nostro endomorfismo.
Per quanto riguarda il quesito posto, non capisco davvero come fa a risultare $f(x,y,z)=(3,2,3)$ uguale a $3x+2y+3z=0$, ti suggerisco di rileggere un pò di teoria
infatti $f(x,y,z)=(3,2,3)$ è uguale a $\{(x=3),(4x-6y+2z=2),(6x-9y+3z=3):}$ risolvendo questo sistema ottieni il vettore $(3,y,z)$ la cui immagine sarà proprio il vettore $(3,2,3)$, provare per credere!
Controlla e finisci i calcoli ora!
Hai pertanto che $f(x,y,z)=(x,4x-6y+2z,6x-9y+3z)$ e questo è il nostro endomorfismo.
Per quanto riguarda il quesito posto, non capisco davvero come fa a risultare $f(x,y,z)=(3,2,3)$ uguale a $3x+2y+3z=0$, ti suggerisco di rileggere un pò di teoria
infatti $f(x,y,z)=(3,2,3)$ è uguale a $\{(x=3),(4x-6y+2z=2),(6x-9y+3z=3):}$ risolvendo questo sistema ottieni il vettore $(3,y,z)$ la cui immagine sarà proprio il vettore $(3,2,3)$, provare per credere!
Controlla e finisci i calcoli ora!
Ciao!
Scusate se mi intrometto.
A me viene un sistema che si riduce a:
$x=3$
$2x-3y+z=1$
da cui si ha alla fine:
$x=3$
$z=-5+3y$
come dici tu il vettore $(3,y,z)$ sarebbe del tipo: $(3,y,3y-5)$
finisce qui?
Scusate se mi intrometto.
A me viene un sistema che si riduce a:
$x=3$
$2x-3y+z=1$
da cui si ha alla fine:
$x=3$
$z=-5+3y$
come dici tu il vettore $(3,y,z)$ sarebbe del tipo: $(3,y,3y-5)$
finisce qui?
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