Esercizio di Algebra Lineare

[lorenzo781]

Salve...qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?

W= {p(x) $in$ $RR_2$[x] / p(1)=p(-1)=0}

Si provi che è sottospazio di $RR_2$[x], e se ne determini una base.


Io ho fatto così:

p(1)=p(-1) $hArr$ $a_1$ + $a_2x$ + $a_3x^2$ = $a_1$ - $a_2x$ + $a_3x^2$

1s) Preso U= {p(x) $in$ $RR_2$[x] /$p_2$(1)=$p_2$(-1)=0}

($a_1$ + $b_1$) + ($a_2$ + $b_2$)x + ($a_3$ + $b_3$)$x^2$ = ($a_1$ + $b_1$) - ($a_2$ + $b_2$)x + ($a_3$ + $b_3$)$x^2$

E' stabile per la somma

2s)

$\lambda$( $a_1$ + $a_2x$ + $a_3x^2$) = $\lambda$( $a_1$ - $a_2x$ + $a_3x^2$)

Vera, è quindi stabile anche per il prodotto per uno scalare

Se scelgo tutte le a=0, dimostro anche che il vettore nullo $in$ W.


Ora qui mi sono bloccato...per trovare una base?

devo dimostrare che $a_1$ + $a_2$ + $a_3$=0 $hArr$ $a_1$=-$a_2$ - $a_3$ ?

[franced]

"lorenzo78":Salve...qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?

W= {p(x) $in$ $RR_2$[x] / p(1)=p(-1)=0}

Si provi che è sottospazio di $RR_2$[x], e se ne determini una base.

In pratica ti devi chiedere quali sono i polinomi di grado minore o uguale a 2
che si annullano per $t=1$ e per $t=-1$.
Vedrai che oltre lo spazio generato da $(t-1)(t+1)$ non c'è niente!

Quindi tutti i polinomi di $W$ sono della forma

$k (t-1)(t+1)$

[lorenzo781]

La parte di dimostrazione che è un sottospazio andava bene?

Forse sono riuscito a risolvere anche la seconda parte, ho raginoato così:

${(p(1) = 0),(p(-1) = 0):}$ $hArr$ ${(a_1 + a_2 + a_3 = 0), (a_1 - a_2 + a_3 = 0):}$ $hArr$ ${(a_1= -a_3), ( -2 a_2= 0):}$

Quindi la base deve essere del tipo

($a_1 t^2$ - $a_1$) = $a_1$ ($t^2$ - 1) = $a_1$(t + 1)(t - 1) con $a_1 in RR$