Esercizio di algebra lineare
Si consideri l’endomorfismo f : R4-> R4 definito da
f(x, y, z, t) = (t, 0, t + z − x, t).
a) Dire quali delle seguenti matrici sono associate ad f rispetto ad un’opportuna
base di R4, specificando di quale base si tratta:
A1=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A2=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
A3=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
b) Posto W =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0) >, determinare la dimensione del sottospazio
f^−1(W) di R4.
grazie vedo che siete in parecchi a rispondermi
f(x, y, z, t) = (t, 0, t + z − x, t).
a) Dire quali delle seguenti matrici sono associate ad f rispetto ad un’opportuna
base di R4, specificando di quale base si tratta:
A1=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
A2=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
A3=
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
b) Posto W =< (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0) >, determinare la dimensione del sottospazio
f^−1(W) di R4.
grazie vedo che siete in parecchi a rispondermi
Risposte
Anche a me piacerebbe sapere come risolverlo. Ho provato a considerare la matrice associata a tale traf. lineare nella base canonica e poi a calcolare autovalori e autovettori. Gli autovalori da quanto mi risulta sono 0 e 1, però poi considerando la base di autovettori non viene nessuna delle matrici elencate. Forse ho sbagliato qualcosa. Aspetto chi ne sa più di me. Non capisco poi cosa significhi $f^-1(W)$.
Forse ci sono riuscito per la parte a):
Ci sono due autospazi, uno associato all'autovalore 0 e uno associato all'autovalore 1. Entrambe devono avere dimensione 2 (perché il polinomio caratteristico della matrice associata a f nella base canonica viene $\lambda^2(1-\lambda)^2$ e quindi abbiamo che $\lambda_(1,2)=0$ e $\lambda_(3,4)=1$). L'autospazio associato a 0 è:
t=0
-x+z+t=0
t=0
La soluzione generica è $(x,0,x,t)$. Quindi una base per l'autospazio è $<(1,0,1,0),(0,0,0,1)>$
L'autospazio associato ad 1 è:
-x+t=0
-y=0
-x+t=0
0=0
La soluzione generica è $(x,y,0,x)$. Quindi una base per l'autospazio è $<(1,0,0,1),(0,1,0,0)>$
Questi quattro autovettori formano una base. Ora per vedere la loro matrice associata calcolo la f su ciascuno di questi vettori e ne "estrapolo" le coordinate. Senza fare i conti (occuperei troppo spazio) la matrice associata ad f in questa base dovrebbe essere $A_3$.
Chi conferma? (o chi smentisce
?)
L'unico dubbio che ho (e non solo in questo esercizio) ma in tutti gli esercizi di questo genere, come faccio a capire in che ordine vanno presi tali autovettori in modo da avere una matrice diagonale? Cioè voglio dire c'è un ordine ben preciso in cui prenderli oppure comunque io li prenda mi viene sempre fuori una matrice diagonale?
Grazie.
Ci sono due autospazi, uno associato all'autovalore 0 e uno associato all'autovalore 1. Entrambe devono avere dimensione 2 (perché il polinomio caratteristico della matrice associata a f nella base canonica viene $\lambda^2(1-\lambda)^2$ e quindi abbiamo che $\lambda_(1,2)=0$ e $\lambda_(3,4)=1$). L'autospazio associato a 0 è:
t=0
-x+z+t=0
t=0
La soluzione generica è $(x,0,x,t)$. Quindi una base per l'autospazio è $<(1,0,1,0),(0,0,0,1)>$
L'autospazio associato ad 1 è:
-x+t=0
-y=0
-x+t=0
0=0
La soluzione generica è $(x,y,0,x)$. Quindi una base per l'autospazio è $<(1,0,0,1),(0,1,0,0)>$
Questi quattro autovettori formano una base. Ora per vedere la loro matrice associata calcolo la f su ciascuno di questi vettori e ne "estrapolo" le coordinate. Senza fare i conti (occuperei troppo spazio) la matrice associata ad f in questa base dovrebbe essere $A_3$.
Chi conferma? (o chi smentisce
?)L'unico dubbio che ho (e non solo in questo esercizio) ma in tutti gli esercizi di questo genere, come faccio a capire in che ordine vanno presi tali autovettori in modo da avere una matrice diagonale? Cioè voglio dire c'è un ordine ben preciso in cui prenderli oppure comunque io li prenda mi viene sempre fuori una matrice diagonale?
Grazie.
Ciao Manugal...
beh se prendi gli autovettori in un ordine trovi la matrice (diagonale) con gli elementi sulla diagonale (autovalori) in un modo, se li prendi in un altro modo gli autovettori allora troverai nella diagonale gli elementi in un altro ordine, ma va sempre bene...
beh se prendi gli autovettori in un ordine trovi la matrice (diagonale) con gli elementi sulla diagonale (autovalori) in un modo, se li prendi in un altro modo gli autovettori allora troverai nella diagonale gli elementi in un altro ordine, ma va sempre bene...
Ecco ora ho capito. Ma confermi la bontà della mia soluzione?
E per quanto riguarda il punto b) che significa $f^-1(W)$?
Grazie.
E per quanto riguarda il punto b) che significa $f^-1(W)$?
Grazie.
non immaginavo che fosse tanto difficile come esercizio! pensavo di essere io ignorante a non saperlo fare, ma a quanto pare è più difficile di quanto credessi.
Manugal io ho provato a fare come dici tu però non mi esce nessuna delle tre matrici associate
come base di partenza ho scelto quella che hai detto tu, come base d iarrivo ho scelto i vettori della base canonica di R^4, però non esce
come base di partenza ho scelto quella che hai detto tu, come base d iarrivo ho scelto i vettori della base canonica di R^4, però non esce
perfavore se c'è qualcuno in grado di risolvere questo esercizio me lo risolva, è molto importante, fra poco ho l'esame
Ciao nick3000... dal momento che la soluzione è una matrice diagonale, si presume che esista una base di autovettori per cui la matrice della trasformazione è proprio una di quelle tre che hai scritto. Se tu trovi la matrice della trasformazione rispetto alla base canonica ovviamente ti esce una matrice diversa dalle tre, quindi come ti ho detto sopra intuitivamente dovrà essere la base di autovettori. E quindi verifichi con il calcolo se lo è veramente. Risolvi l'equazione det(A-h.I)=0 e trovi due autovalori doppi: h=0 e h=1, che dovranno andare nella diagonale della matrice e vedi che la matrice è la terza che hai scritto tu.
Poi sostituisci i valori di h (dovrebbe essere un lamda non un acca, cmq) nell'equazione sopra e risolvi il sistema trovando gli autospazi.
Poi sostituisci i valori di h (dovrebbe essere un lamda non un acca, cmq) nell'equazione sopra e risolvi il sistema trovando gli autospazi.
non riesco a capire cosa intendi, cmq sia forse non mi sono spiegato bene per costruire la matrice associata ad un'applicazione lineare c'è bisogno di 2 basi
la prima è la basa degli autovettori di cui avete parlato la seconda non me l'avete specificata e quindi ho presunto che si trattasse della base canonica, quindi facendo f sulla base di autovettori che mi avete detto ho trovato una matrice che però non è nessuno di quelle tre, cmq se c'è qualcuno che mi fa vedere per bene tutto il procedimento è meglio, sono rimasto bloccato a questo esercizio e non va bene.
la prima è la basa degli autovettori di cui avete parlato la seconda non me l'avete specificata e quindi ho presunto che si trattasse della base canonica, quindi facendo f sulla base di autovettori che mi avete detto ho trovato una matrice che però non è nessuno di quelle tre, cmq se c'è qualcuno che mi fa vedere per bene tutto il procedimento è meglio, sono rimasto bloccato a questo esercizio e non va bene.
Cercherò di essere il più chiaro possibile, perdona la notazione da tastiera...
Secondo me non hai bene capito come si trova la matrice di trasformazione, se è così allora te lo spiego, però ora lo do per scontato che lo sai fare. Infatti se non specifichi la base si tratta sempre della base standard (o canonica). Infatti la matrice della trasformazione della tua applicazione lineare (rispetto alla base standard) è:
0 0 0 1
0 0 0 0
-1 0 1 1
0 0 0 1
La domanda è: trova la base affinché la matrice della trasformazione è uguale a una di quelle tre che hai scritto. Se confronti con quella che ho scritto vedi che è diversa, quindi la base NON sarà quella canonica. Ok?
Quindi dal momento che la soluzione è una matrice diagonale, l'idea intuitiva è che la base sia una base di AUTOVETTORI: vediamo se è così.
Devo risolvere il polinomio caratteristico p(h)=det(A-h.I)=0 dove A è la matrice che ho scritto sopra mentre I è l'identità (mentre h sarebbe il lambda, l'autovalore).
Risolvi ed esce p(h)=h^2(h-1)^2
Quindi hai due valori doppi, cioè h=0 e h=1 (molteplicità due)
Quindi tu puoi dire già ora che la matrice giusta è la terza.
Se vuoi controllare se è vero, devi trovare gli autovettori, infatti ti chiede la base, vediamo un po' di calcolarli:
Nell'equazione di p(h) prima metti h=0 e poi h=1 e risolvi il sistema omogeneo con il metodo di Gauss (o Gauss-Jordan) e trovi delle soluzioni. Le soluzioni sono le stesse trovate da Manugal.
Infatti con h=0 escono (0,1,0,0) e (1,0,1,0)
mentre con h=1 escono (1,0,0,1) e (0,0,1,0)
questi li ho trovati parametrizzando la soluzione del sistema omogeneo. Questi sono i miei autovettori. I due autospazi relativi ai due autovalori hanno entrambi dimensione due.
Ora questi 4 autovettori mettili in una matrice, trasponili in colonne, visto che io li ho scritti in riga. Poi questa matrice, chiamala B, invertila, e chiamala B^-1.
Ora per verificare la matrice giusta è veramente la terza devi fare questo calcolo:
B^-1*A*B = (terza matrice)
Infatti se prendo una base di autovettori allora la mia matrice di trasformazione sarà diagonale e gli elementi sulla diagonale saranno i miei autovalori.
Fammi sapere se hai capito. Ciao.
Secondo me non hai bene capito come si trova la matrice di trasformazione, se è così allora te lo spiego, però ora lo do per scontato che lo sai fare. Infatti se non specifichi la base si tratta sempre della base standard (o canonica). Infatti la matrice della trasformazione della tua applicazione lineare (rispetto alla base standard) è:
0 0 0 1
0 0 0 0
-1 0 1 1
0 0 0 1
La domanda è: trova la base affinché la matrice della trasformazione è uguale a una di quelle tre che hai scritto. Se confronti con quella che ho scritto vedi che è diversa, quindi la base NON sarà quella canonica. Ok?
Quindi dal momento che la soluzione è una matrice diagonale, l'idea intuitiva è che la base sia una base di AUTOVETTORI: vediamo se è così.
Devo risolvere il polinomio caratteristico p(h)=det(A-h.I)=0 dove A è la matrice che ho scritto sopra mentre I è l'identità (mentre h sarebbe il lambda, l'autovalore).
Risolvi ed esce p(h)=h^2(h-1)^2
Quindi hai due valori doppi, cioè h=0 e h=1 (molteplicità due)
Quindi tu puoi dire già ora che la matrice giusta è la terza.
Se vuoi controllare se è vero, devi trovare gli autovettori, infatti ti chiede la base, vediamo un po' di calcolarli:
Nell'equazione di p(h) prima metti h=0 e poi h=1 e risolvi il sistema omogeneo con il metodo di Gauss (o Gauss-Jordan) e trovi delle soluzioni. Le soluzioni sono le stesse trovate da Manugal.
Infatti con h=0 escono (0,1,0,0) e (1,0,1,0)
mentre con h=1 escono (1,0,0,1) e (0,0,1,0)
questi li ho trovati parametrizzando la soluzione del sistema omogeneo. Questi sono i miei autovettori. I due autospazi relativi ai due autovalori hanno entrambi dimensione due.
Ora questi 4 autovettori mettili in una matrice, trasponili in colonne, visto che io li ho scritti in riga. Poi questa matrice, chiamala B, invertila, e chiamala B^-1.
Ora per verificare la matrice giusta è veramente la terza devi fare questo calcolo:
B^-1*A*B = (terza matrice)
Infatti se prendo una base di autovettori allora la mia matrice di trasformazione sarà diagonale e gli elementi sulla diagonale saranno i miei autovalori.
Fammi sapere se hai capito. Ciao.
ho provato a fare il calcolo che mi hai detto tu B^-1 A B però non mi esce la matrice, no so se ho fatto errori di calcolo cmq la matrice che mi esce è
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
sicuramente tu non hai fatto quel calcolo che mi hai detto di fare perchè troppo laborioso, a me cmq è uscita questa matrice
per A intendi
0 0 0 1
0 0 0 0
-1 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
sicuramente tu non hai fatto quel calcolo che mi hai detto di fare perchè troppo laborioso, a me cmq è uscita questa matrice
per A intendi
0 0 0 1
0 0 0 0
-1 0 1 1
0 0 0 1
sulla matrice vedo che si è fatto molto di soluzioni corrette 
per $f^(-1)(W)$ puoi pensarla così:
sai che $dim(ker(f))=2$, $dim(Im(f))=2$ in quanto il rango della matrice che rappresenta $End(RR^4)$ tramite f è 2.
Inoltre quei due vettori fan parte dello span dell'immagine di f in quanto son prodotti tramite essa.
quindi la loro preimmagine sarà uno spazio affine traslato del Ker e quindi son i vettori che van a finere non in zero, da qui concludi velocemente che la sua dimensione è due senza fare altri calcoli...
nella speranza di non aver detto boiate dico buona notte
spero di essere stato chiaro
per $f^(-1)(W)$ puoi pensarla così:
sai che $dim(ker(f))=2$, $dim(Im(f))=2$ in quanto il rango della matrice che rappresenta $End(RR^4)$ tramite f è 2.
Inoltre quei due vettori fan parte dello span dell'immagine di f in quanto son prodotti tramite essa.
quindi la loro preimmagine sarà uno spazio affine traslato del Ker e quindi son i vettori che van a finere non in zero, da qui concludi velocemente che la sua dimensione è due senza fare altri calcoli...
nella speranza di non aver detto boiate dico buona notte
spero di essere stato chiaro
Inoltre quei due vettori fan parte dello span dell'immagine di f in quanto son prodotti tramite essa.
quindi la loro preimmagine sarà uno spazio affine traslato del Ker e quindi son i vettori che van a finere non in zero, da qui concludi velocemente che la sua dimensione è due senza fare altri calcoli...
Sinceramente... non c'ho capito niente
nemmeno io
allora sia $f:V->W$, $w\in\Imf$
allora ${AAw\in\W|f^(-1)(w)=v_0+Kerf:v_0\in\V}$
quindi hai trovato che i due vettori dati fanno parte delle combinazioni lineari dell'immagine della tua applicazione (quello che io chiamo span).
quindi essi fanno parte di uno spazio che ha dimensione 2.
Ora ci chiediamo: che dimensione avrà lo spazio della preimmagine di tali vettori?
sappiamo che il Ker ha dimensione 2, quindi quei vettori essendo non nulli non possono appartenere ad esso, quindi dovranno apartenere al suo spazio affine, ovvero all'altro autospazio in somma diretta col ker che ha dimensione 2.
più chiaro ora?
allora ${AAw\in\W|f^(-1)(w)=v_0+Kerf:v_0\in\V}$
quindi hai trovato che i due vettori dati fanno parte delle combinazioni lineari dell'immagine della tua applicazione (quello che io chiamo span).
quindi essi fanno parte di uno spazio che ha dimensione 2.
Ora ci chiediamo: che dimensione avrà lo spazio della preimmagine di tali vettori?
sappiamo che il Ker ha dimensione 2, quindi quei vettori essendo non nulli non possono appartenere ad esso, quindi dovranno apartenere al suo spazio affine, ovvero all'altro autospazio in somma diretta col ker che ha dimensione 2.
più chiaro ora?
mi dispiace ma non ti seguo e inoltre non si possono utilizzare gli spazi affini perchè gli spazi affini fanno parte del secondo modulo, mentre io sto ancora al primo 
, poi non capisco che cosa intendi con Vo+Kerf, perchè scrivi questa cosa?
, poi non capisco che cosa intendi con Vo+Kerf, perchè scrivi questa cosa?
ogni immagine ha una preimmagine che è esattamente un vettore traslato del Ker.
comunque puoi vederla anche così l'autospazio che non è il ker genera quei deu vettori, quindi quei due vettori provengiono da quello spazio che ha dim 2...
comunque puoi vederla anche così l'autospazio che non è il ker genera quei deu vettori, quindi quei due vettori provengiono da quello spazio che ha dim 2...
scusa ma proprio non capisco il tuo ragionamento
mi è venuta un'idea su come risolvere l'ultimo punto dell'esercizio, ditemi se il mio ragionamento è corretto
il teorema del rango dice che in generale dimV=dimKerf+dimImf, se noi quindi consideriamo l'endomorfismo che va da f^-1(w) in W risulta che
dimf^-1(W)=dimW+dimKerW e dato che dimKerW=0 abbiamo che dimf^-1(W)=dimW=2
che ne pensate del mio ragionamento?
il teorema del rango dice che in generale dimV=dimKerf+dimImf, se noi quindi consideriamo l'endomorfismo che va da f^-1(w) in W risulta che
dimf^-1(W)=dimW+dimKerW e dato che dimKerW=0 abbiamo che dimf^-1(W)=dimW=2
che ne pensate del mio ragionamento?
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