Esercizio di algebra lineare.
Al variare di $t in Q$ si considerino i seguenti vettori:
$V_1= (t-2,t-3,3-t)
$V_2=(t-3,t-2,3-t)
$V_3=(t-3,t-3,4-t)
Dire per quali valori di $t in Q$ esiste una applicazione lineare $f:Q^3->Q^3$ tale che $f(v_1)=e_1$, $f(v_2)=e_2$ ed $f(v_3)=e_3$ .
Siccome l'applicazione va da $Q^3->Q^3$ ho considerato una matrice generica $3x3$ associata a questa applicazione. Poi ho fatto il prodotto della matrice per questi vettori e ho eguagliato i vettori considerati al corrispondente versore. Però alla fine mi vengono molti parametri da discutere e quindi non sono sicuro che quello che faccio io sia il modo per svolgere l'esercizio....
Alla fine mi viene per t=3.
$V_1= (t-2,t-3,3-t)
$V_2=(t-3,t-2,3-t)
$V_3=(t-3,t-3,4-t)
Dire per quali valori di $t in Q$ esiste una applicazione lineare $f:Q^3->Q^3$ tale che $f(v_1)=e_1$, $f(v_2)=e_2$ ed $f(v_3)=e_3$ .
Siccome l'applicazione va da $Q^3->Q^3$ ho considerato una matrice generica $3x3$ associata a questa applicazione. Poi ho fatto il prodotto della matrice per questi vettori e ho eguagliato i vettori considerati al corrispondente versore. Però alla fine mi vengono molti parametri da discutere e quindi non sono sicuro che quello che faccio io sia il modo per svolgere l'esercizio....
Alla fine mi viene per t=3.
Risposte
Salvo errori ed omissioni ( 
) direi che il quesito si può risolvere con minimi calcoli.Il det della matrice dei vettori dati è t-2 e per t=2 risulta v1+v2=v3.Se dunque per tale valore di t esistesse la f ,si dovrebbe avere anche f(v1)+f(v2)=f(v3) ,ovvero (1,0,0)+(0,1,0)=(0,0,1) che è impossibile.Pertanto la f esiste se t è diverso da 2 ed il quesito è risolto.
Volendosi spingere più in là,si può anche trovare l'espressione analitica di f che risulta essere data da:
$f(x,y,z)=((x+(3-t)(y+z))/(t-2),((t-3)(x+z)-y)/(2-t),((t-3)(x+y)+(2t-5)z)/(t-2))$
Ma questo richiede un po' più di calcoli.
Ciao
) direi che il quesito si può risolvere con minimi calcoli.Il det della matrice dei vettori dati è t-2 e per t=2 risulta v1+v2=v3.Se dunque per tale valore di t esistesse la f ,si dovrebbe avere anche f(v1)+f(v2)=f(v3) ,ovvero (1,0,0)+(0,1,0)=(0,0,1) che è impossibile.Pertanto la f esiste se t è diverso da 2 ed il quesito è risolto.Volendosi spingere più in là,si può anche trovare l'espressione analitica di f che risulta essere data da:
$f(x,y,z)=((x+(3-t)(y+z))/(t-2),((t-3)(x+z)-y)/(2-t),((t-3)(x+y)+(2t-5)z)/(t-2))$
Ma questo richiede un po' più di calcoli.
Ciao
La questione è più semplice e il risultato è un solo valore di t:
3 vettori che vengono mandati con un'applicazione lineare in 3 vettori indipendenti(la base canonica in questo caso) devono essere anch'essi indipendenti.
Ciò avviene quando t=3(facile verifica:con un passaggio riduci la matrice che ha per colonne v1 v2 v3 e vedi che ci sono 3 pivot solo se t=3,ciò prova l'indipendenza dei vettori colonna).
3 vettori che vengono mandati con un'applicazione lineare in 3 vettori indipendenti(la base canonica in questo caso) devono essere anch'essi indipendenti.
Ciò avviene quando t=3(facile verifica:con un passaggio riduci la matrice che ha per colonne v1 v2 v3 e vedi che ci sono 3 pivot solo se t=3,ciò prova l'indipendenza dei vettori colonna).
Un'altrettanto semplice verifica permette di osservare che ,per esempio, per t=1 si ottengono i 3 vettori (-1,-2,2),(-2,-1,2),(-2,-2,3) che sono linearmente indipendenti come è richiesto.Del resto ,sempre con una facile verifica,si può osservare che la f(x,y,z), che ho indicata , manda realmente la terna (V1,V,2,V3) nella terna (e1,e2,e3).E questo qualunque sia $t!=2$
Ciao
Ciao
Scusate,ho sbagliato a trascrivere le coordinate dei vettori sul foglio.il risultato è giusto per t diverso da 2.Il procedimento è il solito.
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