Esercizio di algebra lineare

[klarence1]

Per quali polinomi $p in R[t]$ il grafico $L={(t,p(t)) | t in R}$ è un sottospazio vettoriale di $R^2$?

Dopo aver verificato le proprietà di sottospazio vettoriale secondo me si ha :
1) o $p=0$ e di conseguenza $t=0$ (sottospazio banale)
2)o $p=a*t^k$ e $t=y$ con $k,y in R$ e $k$ diverso da zero.

Potete vedere dirmi quale è il vostro risultato e illustrarmi il vostro procedimento? Grazie.

[fu^2]

per essere spazio vettoriale deve soddisfare gli assiomi di spazio vettoriale (abbrevio spazio vettoriale con sv)

un generico polinomio $P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n

sia allora $L={x,p(x)}$ sv

si ha che $0\inL$

quindi $p(0)=0->a_0=0

$L$ deve essere chiuso rispetto alla somma di due elementi appartenenti a L

siano quindi $h,h'\inL$
allora $p(h)+p(h')=p(h'+h)

possiamo quindi ricavare il seguente sistema:
${(a_1h+a_2h'=a_1h+a_1h'),(a_2h^2+a_2(h')2=a_2(h+h')^2),(a_nh^n+a_n(h')^n=a_n(h+h')^n):}
questo implica che $a_2=a_3=...=a_n=0$

quindi il polinomio ricavato è $p(x)=a_1x$ infatti esso è chiuso rispetto al prodotto, infatti sia $delta\inRR$, si ha che $deltaa_1x=a_1deltax$, da cui segue che il poilinomio cercato è quello di primo grado senza termine noto.

[klarence1]

perfetto grazie.